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Gegeben sei z=2-i

Nun soll z-1 in die Gaußsche Zahlenebene eingezeichnet werden.

Wie gehe ich vor?

Ist folgendes zulässig:

(2-i)-1=1÷(2-i)

Wenn ja, wie gehe ich weiter vor? Mir ist bekannt wie man komplexe Zahlen einträgt, aber nicht wie es bei Brüchen geht...

Vielen Dank

Gruß

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Welche geometrischen Eigenschaften der Multiplikation von komplexen Zahlen kennst du denn?

3 Antworten

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Beste Antwort

(2-i)-1  =  \(\frac{1}{2-i}\) 

\(\frac{2+i}{(2-i)·(2+i)}\)     Bruch mit 2+i  erweitert

\(\frac{2+i}{4-i^2}\)              im Nenner 3. binomsche Formel angewendet

 = \(\frac{2+i}{4-(-1)}\)             i2 = -1

= \(\frac{2+i}{5}\)

 = 2/5 + 1/5 · i

= x + y·i    mit  Realteil x = 2/5 und Imaginärteil  y = 1/5  

Diese Zahl wird in der Gaußschen Zahlenebene durch einen 

Pfeil  von (0|0) nach (2/5 | 1/5) dargestellt.

Gruß Wolfgang

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Zeichne 

 z=2-i

ein.

Du siehst einen Winkel zwischen z und der reellen Achse (das Argument von z).

Der Betrag von z ist 

 |z|= √(4+1) = √5 

Bei einer Division werden die Argumente der beiden Zahlen voneinander subtrahiert und die Beträge durcheinander dividiert. 

z^{-1} = 1/(2-i)

arg(z^{-1}) =arg(1)  - arg(z) = 0 - arg(z) 

|z^{-1}| = 1/ |z| = 1/√5

Zeichne nun im Winkel -arg(z) einen Strahl in die Zahlenebene und trage auf diesem Strahl die Länge 1/√5 ≈  0.44721 Einheiten ab. Das gibt die gesuchte Zahl. 

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Nun soll z-1 in die Gaußsche Zahlenebene eingezeichnet werden.

Du erweiterst konjugiert komplex . Das Ergebnis kannst Du jetzt darstellen.

Bild Mathematik

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