Folge: Supremum, Infinum, Maximum, Minimum herausfinden

Question

Hat die Folge \( a_{n}=\cos \left(\frac{2}{n}\right),\{n \in \mathbb{N}\} \) ein Supremum, Infinum, Maximum, Minimum und wie lauten diese, falls vorhanden?

Kommt hier 0 für Supremum und -0,41 für Infinum und Maximum heraus?

Comments

kommt hier 0 für Supremum und -0,41 für Infinum und Maximum heraus?

Das kann nicht sein, denn wenn es ein Maximum gibt, dann muss es auch Supremum sein. Immerhin liegen alle Zahlen der Form cos(2/n) im Intervall [-1, 1], so dass die Folge auf jeden Fall beschränkt ist. Ferner ist 2/n eine Nullfolge. Was wird beim Grenzübergang n->oo dann aus cos(2/n)?

Answer 1

Die Folge

a _n = cos ( 2 / n )

pendelt zwischen den Werten - 1 und 1 hin und her und nimmt diese Werte auch tatsächlich an. Die Menge M der Glieder dieser Folge enthält also diese Werte. Sie sind daher das Minimum bzw. das Maximum der Folgeglieder. Damit aber gilt aufgrund des fett gesetzten Satzes in meiner Antwort zu deiner vorherigen Frage:

Supremum = Maximum = 1

Infimum = Minimum = - 1 

Comments

Nein.
Die Folge pendelt nicht, sie ist monoton (ab dem zweiten Glied). Und die Werte -1 und 1 nimmt ein Cosinus mit rationalem Argument niemals an.

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Oh, was für ein Fauxpas :-(

Ché Netzer hat völlig recht. Ich habe nicht bedacht, dass n aus den natürlichen Zahlen sein soll, wie das bei solchen Folgen ja nun einmal üblich ist. Statt dessen habe ich einfach den Verlauf des Graphen der reellwertigen Funktion f ( n ) = cos ( 2 / n ) mit n € R betrachtet und daraus meine Antwort abgeleitet. Ein wirklich schlimmer Fehler.

Ich ziehe meine Antwort zurück.

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Und die Werte -1 und 1 nimmt ein Cosinus mit rationalem Argument niemals an.

Naja, die 1 schafft er schon...