Flächenintegral berechnen

Question

Die Aufgabe: "Seien α > 0 und r > 0 zwei reellen Zahlen. Bestimmen Sie den Flächeninhalt eines Kreissektors mit Radius r und Öffnungswinkel α."

Ich habe zwar bereits Flächenintegrale berechnet, allerdings handelte es sich dabei stets um Dreiecke, bei denen auch die zu integrierende Funktion angegeben war.

Bei dieser Aufgabe weiß ich leider noch nicht einmal, über welche Funktion ich integrieren soll, geschweige denn über welche Grenzen.

Wie muss man hier vorgehen?

Answer 1

Falls die Aufgabe so wie in der Skizze angedeutet gemeint ist:
Der Flächeninhalt des Vollkreises berechnet sich aus  A = π·r². Im Vollkreis gilt  α = 2π. Der Flächeninhalt des grün eingefärbten Kreissektors berechnet sich demnach aus
A_α = α/(2π)·π·r² = (α/2)·r².

Comments

Allerdings hast Du hier gar nicht integriert, oder? Wie löse ich das mithilfe von Integralen?

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Dies scheint mir die einfachste Lösung zu sein. Warum willst du denn die Aufgabe unbedingt mithilfe von Integralen lösen? Laut Aufgabenstellung ist das doch nicht notwendig. Ansonsten hilft vielleicht der folgende Tipp: Du kannst die (Halb-) Kreislinie als Funktion der Form  f(x) = √(r² - x²)  auffassen.

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Ich will die Aufgabe mit Integralen lösen, weil sie Teil eines ganzen Bündels an Aufgaben zum Thema "Integration" ist. Danke für den Tipp, ich werde mich mal daran versuchen!