Ich soll das charakteristische Polynom finden:
\( A=\left(\begin{array}{cccc}5 & -3 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \\ 3 & -3 & 0 & -1\end{array}\right) \)
Komme aber nicht das richtige Ergebnis wie bei Wolfram ( x^4-2 x^3-3 x^2+4 x+4)
Wende den Entwicklungssatz nach Laplace an.
\( p(x)=\operatorname{det}(A-x I)=\left|\begin{array}{cccc}5-x & -3 & 0 & -3 \\ 3 & -1-x & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1-x & -3 \\ 3 & -3 & 0 & -1-x\end{array}\right| \)Entwicklung nach der dritten Spalte liefert \( p(x)=(-1-x) \cdot\left|\begin{array}{ccc}5-x & -3 & -3 \\ 3 & -1-x & -3 \\ 3 & -3 & -1-x\end{array}\right| . \)Entwicklung nach der ersten Spalte liefert \( p(x)=(-1-x) \cdot\left[(5-x) \cdot\left|\begin{array}{cc|}-1-x & -3 \\ -3 & -1-x\end{array}\right|-3 \cdot\left|\begin{array}{cc|}-3 & -3 \\ -3 & -1-x\end{array}\right|+3 \cdot\left|\begin{array}{cc}-3 & -3 \\ -1-x & -3\end{array}\right|\right] \)\( =(-1-x) \cdot\{(5-x) \cdot[(-1-x) \cdot(-1-x)-(-3) \cdot(-3)]-3 \cdot[(-3) \cdot(-1-x)-(-3) \cdot(-3)]+3 \cdot[(-3) \cdot(-3)-(-3) \cdot(-1-x)]\} \)\( =(-1-x) \cdot\left[(5-x) \cdot\left(-8+2 x+x^{2}\right)-3 \cdot(-6+3 x)+3 \cdot(6-3 x)\right] \)\( =(-1-x) \cdot\left(-4+3 x^{2}-x^{3}\right) \)\( =x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+4 x+4 \)
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