Charakteristisches Polynom bestimmen

Question

Ich soll das charakteristische Polynom finden:

\( A=\left(\begin{array}{cccc}5 & -3 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \\ 3 & -3 & 0 & -1\end{array}\right) \)

Komme aber nicht das richtige Ergebnis wie bei Wolfram ( x^4-2 x^3-3 x^2+4 x+4) 

Comments

Wenn ihr über Eigenwerte gehen dürft:
Den Eigenwert -1 kann man direkt ablesen; mit etwas genauerem Hinsehen auch 2. Man stellt dann leicht fest, dass beides doppelte Eigenwerte sind, also ist das charakteristische Polynom (x+1)²(x-2)².

So hat man es ohne große Rechnung gleich in faktorisierter Form bestimmt.

Answer 1

Wende den Entwicklungssatz nach Laplace an.

\( p(x)=\operatorname{det}(A-x I)=\left|\begin{array}{cccc}5-x & -3 & 0 & -3 \\ 3 & -1-x & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1-x & -3 \\ 3 & -3 & 0 & -1-x\end{array}\right| \)
Entwicklung nach der dritten Spalte liefert \( p(x)=(-1-x) \cdot\left|\begin{array}{ccc}5-x & -3 & -3 \\ 3 & -1-x & -3 \\ 3 & -3 & -1-x\end{array}\right| . \)
Entwicklung nach der ersten Spalte liefert \( p(x)=(-1-x) \cdot\left[(5-x) \cdot\left|\begin{array}{cc|}-1-x & -3 \\ -3 & -1-x\end{array}\right|-3 \cdot\left|\begin{array}{cc|}-3 & -3 \\ -3 & -1-x\end{array}\right|+3 \cdot\left|\begin{array}{cc}-3 & -3 \\ -1-x & -3\end{array}\right|\right] \)
\( =(-1-x) \cdot\{(5-x) \cdot[(-1-x) \cdot(-1-x)-(-3) \cdot(-3)]-3 \cdot[(-3) \cdot(-1-x)-(-3) \cdot(-3)]+3 \cdot[(-3) \cdot(-3)-(-3) \cdot(-1-x)]\} \)
\( =(-1-x) \cdot\left[(5-x) \cdot\left(-8+2 x+x^{2}\right)-3 \cdot(-6+3 x)+3 \cdot(6-3 x)\right] \)
\( =(-1-x) \cdot\left(-4+3 x^{2}-x^{3}\right) \)
\( =x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+4 x+4 \)