Erdumfang mit Hilfe des Horizonts berechnen.

Question

Ich habe mir gerade folgende Frage ausgedacht:

Nehmen wir mal an ich stecke eine Stange ins Meer, die senkrecht 1 Meter aus dem spiegelglatten Meer herausragt und die größte Entfernung an dem ich noch die Spitze der Stange von der Ferne aufgrund der Erdkrümmung vom Meer aus sehen kann beträgt 5 Kilometer.

Der Radius der Erde beträgt ja 360 Grad. Und die 5 Km maximalabstand bis zum obersten Punkt der 1 Meter Stange bilden dann ja quasi eine Art rechtwinkliges Dreieck.

Aber wie wird jetzt der Erdumfang mit diesen wenigen Daten berechnet ? Geht das überhaupt ?


Vielen Dank schonmal !

Answer 1

Wenn es so wäre wie Du sagst, wäre der Erdradius 12.499,999 km, also viel zu groß. Er berechnet sich aus der Gleichung

$$ (r+1)^2 = r^2 + 5000^2 $$

Wenn Du also die Entfernung richtig angibst, kann man den Radius berechnen und daraus den Umfang.

Comments

Danke. Es war nur eine Denksportaufgabe von mir, ich weiß nicht wie weit die Stange in Wirklichkeit maximal von mir entfernt seien müsste, so dass ich sie noch sähe.

Wenn wir jetzt mal mit diesen Zahlen weiter rechnen, dann hätte der Planet auf dem ich stehe doch folgenden Umfang:  U=2·π·r  --> 2· π ·12.499,999 = ca. 78539 km ?

Ist das Korrekt und müsste ich nicht noch die Höhe der Augen mit in die Rechnung einbeziehen, sagen wir sie sind 50 cm über der Wasseroberfläche ?

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Muss ich wenn die Augen 50 cm über der Wasseroberfläche sind, die Formel so umändern ?

( r+(1-0,50) )^2=r^2+5000^2

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Wenn die Augenhöhe mit einbezogen wird und die 5000 Meter Sicht mit dieser Augenhöhe gelten, würde ich zuerst ausrechnen, wie weit man mit dieser Augenhöhe sehen kann. Danach würde ich ausrechnen wie die Entfernung zu dem 1 Metermast ist, in Abhängigkeit des Erdradiuses. Beide Entfernungen zusammen müssen dann 5000 Meter ergeben. In Formeln

$$ (1) \quad \left( r+\frac{1}{2} \right)^2 = x^2 + r^2  $$

$$ (2) \quad (r+1)^2 = y^2 +r^2 $$

$$ (3) \quad x + y = 5000  $$

In dem Fall ist die Lösung

$$ x = 2.071 \text{ m } \wedge y = 2.929 \text{ m } \wedge r = 4.289 \text{ km }  $$