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Aufgabenstellung (aus einem Programmierkurs): In der Mitte eines Kreisverkehrs ist ein runder Bereich mit gegebenen Radius bereits mit einer Wiese bepflanzt. Um diese Mitte herum sollen eine gegebene Anzahl runder Blumenbeete (mindestens 3) angelegt werden. Die Blumenbeete sollen lückenlos aneinander angrenzen und alle gleich groß sein. Sie bilden dabei gewissermaßen einen Kranz aus Beeten um die Rasenfläche.

Bei gegebenem Radius R der Rasenfläche und Anzahl M der Blumenbeete: In welcher Größe (Radius) müssen die Blumenbeete angelegt werden? Ausführliche Herleitung erforderlich!

Zusatzaufgabe: Warum passen um einen gegebenen Kreis stets exakt sechs Kreise, die den gleichen Radius wie der Innenkreis haben?



von

Also 3 Kreise von max Größe in einem Kreis

und

m Kreise von max Größe in einem Kreis ?

Verdeutlichung: Eine Münze hinlegen. Sechs identische Münzen so drumlegen, dass sie die innere Münze lückenlos umschließen. Das ist der Spezialfall.

Allgemein: Für jede Anzahl M (>=3) dieser Anordnung Kreise gibt es bei geg. Innenradius R einen bestimmten Radius, den die Außenkreise haben. Wie berechne ich aus beliebigen R und M diese Radien? Jetzt sollte es klar sein.
R·(1/cos(π/M)+tan(π/M))tan(π/M)
Diese Antwort dürfte falsch sein, konnte es nicht nachvollziehen. Ergebnisse hauen nicht hin. Bitte Herleitung oder Quelle angeben.

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Allgemein: Für jede Anzahl M (>=3) dieser Anordnung Kreise gibt es bei geg. Innenradius R einen bestimmten Radius, den die Außenkreise haben. Wie berechne ich aus beliebigen R und M diese Radien?

Aus der Anzahl bekommst du den Winkel alpha,  der entsteht, wenn du die Mittelpunkte zweier

benachbarter Kreise mit dem Mittelpunkt M des inneren Kreises verbindest.

Also alpha = 360° / M

Wenn du daraus eine Skizze machst, und jeweils die Mittelpunkte M1 und M2 der

äußeren Kreis mit dem Berührpunkt B verbindest, etwa so

Bild Mathematik

Dann gilt  tan ( alpha/2 ) =   r /  ( R+r)   FEHLER !

Hier und in allen folgenden Gleichungen muss statt tan

sin hin. siehe Kommentar georgborn.

also  r = R*  tan ( alpha/2 )  /  (  1 -   tan ( alpha/2 ) )

von 153 k

Hallo mathef,

im Dreieck M/M2/B ist
- r doch die Gegenkathete
- r + R die Hypotenuse
also
sin (a/2 ) = r / ( R + r )
Oder ?

mfg Georg

Danke, hast recht, da habe ich nicht aufgepasst.

Werde es korrigieren.

Gruß

mathef

Dieser trigonometrische Ansatz ist - mit Sinus - korrekt und leicht nachvollziehbar. Danke sehr!
+1 Punkt

Betrachte das Dreieck aus Mittelpunkt eines Beetes, Mittelpunkt des Kreisverkehrs und Mittelpunkt eines benachbarten Beetes.

Vergebe Variablen für die Seitenlängen des Dreiecks.

Verwende die Variablen um Gleichungen über die Seitenlängen des Dreiecks aufzustellen. Dabei hilft die Tatsache, dass es sich um ein besonderes Dreieck handelt und der Satz von Pythagoras.

von 37 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Habs mit diesem Ansatz nicht sofort nachvollziehen können, weil hier ja noch die Höhe MB des gleichseitigen Dreiecks MM1M2 einbezogen ist, die Kreisanzahl oder der sich daraus ergebende Winkel dagegen nicht. Man würde dann wohl ohnehin auf eine trig. Funktion zurückgreifen müssen, schätze ich.Aber rein Interesse halber: Wie geht dieser Ansatz? Danke.Aber loben möchte ich das Bemühen, nicht den gesamten Lösungsweg durchzukauen, sondern nur die Richtung zu weisen. Ist im Prinzip lehrreicher, denn schließlich kann man ja immer noch nachfragen, wenn man es doch noch nicht rafft.
+1 Punkt

Hier meine Skizze

Bild Mathematik

Rechnen wir einmal ein konkretes Beispiel
R = 10 m
m ( Anzahl Außenkreise ) = 8

Winkel alpha = 360 ° / 8 = 45 °
alpha / 2 = 22.5 °

sin ( a / 2 ) = r1 / ( R + r1 )
sin ( 22.5 ) = r1 / ( 10 + r1 )
r1 = 6.2  m

Stimmt es oder nicht ?

von 83 k
Die Formel wurde mit der Zusatzfrage überprüft :

sin ( 30 ) = r1 / ( 10 + r1 )
r1 = 10 m

r1 stimmt mir dem Innenradius überein.

georgborn rechnete in seinem Beispiel mit 8 gleichen Kreisen.

Nein, die Zusatzfrage ist so richtig beantwortet:
Die sechs Kreise teilen den Innenkreis (dessen Radius beliebig ist) in sechs Stücke mit a= 60° (360/6). Der Sinus bezieht sich auf den halbierten Winkel, also a/2=30°.Also: sin(a/2)=sin(30)=0,5 = 1/2
 Die Formel lautet umgeformt:
 r (gesucht) = sin(a/2)* R / (1 - sin(a/2))  r
= 1/2*R / (1 - 1/2) r
= 1/2*R / 1/2  r
= 1/2*R * 2 r
 = R, q.e.d

Ich habe 2 Beispiele berechnet

- zunächst ein konkretes Beispiel für m = 8 damit mein Ansatz
einmal nachvollzogen werden konnte.

  Dann habe ich die Zusatzfrage für m = 6 nachgeprüft
a = 6
a/2 = 30
sin ( 30 ) = r / ( R - r )
0.5 * R + 0.5 * r = 1 * r
0.5 * R = 0.5 * r
R = r

  Etwas komisch kommt mir der Sachverhalt schon vor das es genau
6 Kreise sind bei denen die Radien übereinstimmen.
  Die irrationale Kreiszahl 3.14..  habe ich im Kopf.

  6 Kreise ( 2 * 3 ) passen vom Gefühl nicht so ganz mit 3.14..
zusammen.

Diese Eigenheit liegt an dem Umstand, dass genau sechs gleichseitige Dreiecke (Seitenlängen r+R) ein regelmäßiges Sechseck, so wie die Mittelpunkte der Kreise, bilden. Dies ist nur gegeben, wenn R=r, wie im Beispiel.Mit PI hat das nicht direkt was zu tun.
+1 Punkt


Meldung an den Support; zum wiederholten Male war eben meine Maus blockiert; ich musste3 den Stecker ziehen, um Firefox gewaltsam abzubrechen. Auf diesem Forum residiert ein Virus.

   Hier hat mal wieder niemand keine Ahnung von nix. Ein Literaturzitat erbittest du. Mir liegt vor


     ===> Martin Gardner / Weltbild Verlag Augsburg 1988

    " Matematischer Zirkus " ; Bd. 1 ; S. 40 - 45

 

    ein Sonderfall des Problems, welches du anschneidest, sind die ===> oskulierenden Kreise.

   Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Statt " oskulierender " Kreise schlage ich die Bezeichnung " Kusskreise " vor.

   Also irgendwie erinnert mich diese Bezeichnung, diese Assoziation  an jenen Psychiaterwitz

   " Wer hat denn all die Schweinereien gezeichnet? "

   Jetzt  meldest du dich und fragst deine Lehrerin, ob du sie " oskulieren " darfst.

   Vielleicht knallt sie dir dann eine, weil sie Oskulieren mit Kopulieren verwechselt.

   Oder sie vermeint, du suchst die größt mögliche Annäherung an ihre Kurven . . . 

   Immerhin überliefert ===> Maria Montessori, dass sie in einer Vorschulklasse den Satz an die Tafel schrieb

        " Küss mich "

    Sie gab sich sehr erstaunt, als sie fest stellen musste, dass wider Erwarten über die Hälfte der Klasse lesen konnte. Warum denn die Kinder diesen Text nicht als Aufforderung verstanden und sich so zurück gehalten hätten . . . 

  Wir wollen definieren, n Kreise küssen sich, wenn jeder Kreis jeden anderen berührt im Sinne der ===> Differenzialrechnung. Und zwar hat ===> Frederick Soddy gezeigt, dass sich in der Ebene, im |R ² höchstens 4 Kreise küssen können. Für diese Höchstzahl 4 gibt er die folgende quadratische Gleichung

 

 

          (  a  +  b  +  c  +  d  )  ²  =  2  (  a  ²  +  b  ²  +  c  ²  +  d  ²  )        (  1  ) 

 

    wobei die a , b , c , d die ===> Krümmungsmaße der vier Kreise bedeuten.

 

     Im Internet findest du alle historischen Einzelheiten über diese höchst ungewöhnliche Entdeckung so wie Soddys Beweis.

    Soddy ist ja Geist von meinem Geist; auch ich habe ja Entdeckungen gemacht auf Gebieten der elementaren Algebra, wo mir jeder profezeite, da ist absolut nix mehr zu holen.

   Nur falls hier Unklarheiten bestehen, wer soddy ist: Physiknobelpreis für die Entdeckung der Isotopie der Elemente.

   Hier wurde ja der Grundsatz ===> " Hypotesis non fingo " auf die Spitze getrrieben; ===> Giovanni Dogigli

   " Im 19. Jh. wurde erstmals vorgeschlagen, Atome müssten aus nicht näher bekannten elementaren Legosteinen zusammen gesetzt sein. Da erhob sich zynischer Widerspruch; nicht ganzzahlige AtGew wie Cl = 35.5 sprächen dagegen . . . "

        Du hattest gefordert

 

 

       a  =  b  =  c  =  1        (  2a  )

 

      Gesucht  d in  ( 1 )

 

 

         (  d  +  3  )  ²  =  2  (  d  ²  +  3  )       (  2b  )

         f  (  d  )  =  d  ²  -  6  d  -  3  =  0   |    MF        (  3a  )

 

 

   Mit q < 0  folgen aus der cartesischen Vorzeichenregel zwei reelle Wurzeln mit entgegen gesetztem Vorzeichen. Wenn du dich msl in die Soddyteorie hinein gelesen hast, bedeutet das, dass bei d1 der vierte große Kreis die drei anderen umschlingt, während bei dem positiven d2 deine drei Kreise den vierten einschließen wie ursprünglich gefordert.

   Für eine quadratische Gleichung wie ( 3a ) stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim, das ===> Minimalpolynom ihrer Wurzeln ( so wie hier ) Oder aber sie zerfällt in zwei rationale Linearfaktoren ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Gemäß dem SRN wären die beiden Wurzeln von ( 3a ) dem Betrage nach 1 so wie 3 .

   Nun hat der SRN einen Gegenspieler, der schon viel älter und ehrwürdiger ist als der SRN -  den Eisensteintest. Das ist so wie in der Medizin; Testergebnis negativ heißt noch lange nicht, dass du gesund bist. ( 3a ) testet nämlich Eisenstein positiv mit Eisensteinzahl


       p  (  f  )  =  3        (  3b  )


   Schon seit Langem erhebe ich gegen Wiki den vorwurf, die Zuschreibung des SRN an Gauß stelle eine dreiste Fälschung dar. Auch hier siehst du das wieder; warum wurde dann die Bedeutung von Onkel Eisenstein nie gewürdigt? Aber warum in die Ferne schweifen - mit dem SRN folgt die Irrationalität von Wurzel ( 2 ) als Trivialität.


      d1  =  -  1 / r1  =  3  -  2  sqr  (  3  )       (  4a  )

           r1  =  ( 1/3 )  [  3  +  2  sqr  (  3  )  ]  =  1  +  ( 2/3 )  sqr  (  3  )  >  1    (  4b  )



    für den Umfassungskreis ist natürlich ganz wesentlich, dass sein Radius größer Eins ist. Entsprechend findet man



      r2  =  sqr  (  4/3  )  -  1      (  4c  )



     In Wiki findet ihr diese Teorie übrigens unter dem Stichwort " komplexe Descartesformel "  ( KDF ) Wiki wittert die Urheberschaft bei ===> Apollonios und Descartes . Die KDF geht analog ( 1 ) ; sie gibt die bislang offene Zusatzantwort auf die Mittelpunkte der Kusskreise. Ich bleibe trotzdem skeptisch; die KDF kann doch nicht mehr sein als eine notwendige Rahmenbedingung. Drei beliebig vorgegebene Kreise küssen sich doch nicht.

   Na da halte ich es mit dem Countrysong

   " I ' d like to make a date / And to stay out late / With the gell who invented kissing. "

von
Danke für die Ausführungen, die mir allerdings in weiten Teilen unverständlich sind. Da ich weder die Motivation noch vermutliche die Fähigkeiten habe, sie nachzuvollziehen, habe ich mich seit jeher auf die praktische Mathematik beschränkt. Ansonsten noch viel Glück bei Ihren Anstrengungen, endlich die wohl verdiente Anerkennung zu erlangen.
   Ich habe auch nur abgeschrieben. Gegeben sind drei gleich große Kreise. Wie groß muss ich den vierten machen, um den die drei anderen gruppiert werden, so dass jeder Kreis jeden anderen berührt? Die Prinzipskizze findest du ja bei Gardner.Ist entweder eine Forderung der praktischen Matematik oder eine Spielerei aus dem Matematikzirkus - wie würdest du entscheiden?

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