Prüfe ob das Uneigentliche Integral existiert

Question

(i) Prüfe´, ob das uneigentliche Integral$$ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ \sin { (x)\quad dx }  }  $$existiert und berechne gegebenfalls dessen Wert.(ii) Bestimme alle α,β ∈ℝ für die das uneigentliche Integral$$ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ \alpha  } }  } { log }^{ \beta  }(x)\quad dx $$konvergiert

Comments

(i) Prüfe´, ob das uneigentliche Integral$$ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ \sin { (x)\quad dx }  }  $$existiert und berechne gegebenfalls dessen Wert.(ii) Bestimme alle α,β ∈ℝ für die das uneigentliche Integral$$ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ \alpha  } }  } { log }^{ \beta  }(x)\quad dx $$konvergiert

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$$\text{(i) Betrachte z.B. }\int_1^{n\cdot\pi}\sin x\,\mathrm dx\text{ für }n\in\mathbb N.$$