Abzählbarer und endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Question

a) Sei (Ω,P(Ω),P) ein abzählbarer Wahrscheinlichkeitsraum und A, B⊂Ω mit P(A) = 1/2, P(B) = 2/3 und P(A∩B) = 1/4. Bestimmen Sie P(A^c), P(AυB),P(A^{c}∩B), P(A∪B^c).

b) Geben Sie einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum und Mengen A,B an, sodass die Voraussetzungen in a) erfüllt sind.

c) Zeigen Sie, dass es keinen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P(Ω), P) und Mengen A, B ⊂ Ω gibt mit P(A) = 1/2, P(B) = 2/3 und P(A∩B) = 1/8.

Kann mir hier jemand helfen?

Answer 1

a) P(A^c) ist die die Gegenwahrscheinlichkeit von P(A). P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B), ähnlich bekommst du dann auch P(A∪B^c). Mittels P(A∩B) + P(A^c∩B) = P(B) kannst du P(A^c∩B) berechnen.

b) Packe 12 farbige, nummerierte Kugeln in eine Urne. A: Die gezogene Kugel ist rot. B: Die Kugel trägt die Nummer 1. Wie viele Kugeln müssen rot sein? Wie viele müssen mit der Nummer 1 beschriftet sein? Wie viele müssen beides erfüllen.

c) Ich erinnere noch mal an P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Comments

Sorry, dass ich erst jetzt antworte, war aber gestern den ganzen Tag unterwegs. Mir ist deine Antwort leider noch nicht ganz klar. Was meinst du in der a) mit Gegenwahrscheinlichkeit? Heißt das, wenn P(A)=1/2 ist, ist dann P(A^c)=-1/2? Oder wie ist das gemeint?

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> wenn P(A)=1/2 ist, ist dann P(A^c)=-1/2

Wahrscheinlichkeiten können nicht negativ sein.

Die Ereignisse A und A^c schließen sich gegenseitig aus und auf jeden Fall tritt eines der beiden Ereignisse ein. Solche Ereignisse heißen Gegenereignisse. Die Gegenwahrscheinlichkeit von A ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von A.

Weil sich A und A^c gegenseitig ausschließen ist P(A∪A^C) = P(A) + P(A^C). Weil auf jeden Fall A oder A^C eintritt ist P(A∪A^C) 1. Also ist P(A) + P(A^C) = 1 oder ander formuliert P(A^C) = 1 - P(A).

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Okay, dann werde ich das nochmal versuchen. Falls ich es nicht schaffe, melde ich mich nochmal.

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Kannst du mir erklären , wie man P(A^c∩B) berechnen kann ?

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Ich zitiere mal aus meiner Antwort: "Mittels P(A∩B) + P(A^c∩B) = P(B) kannst du P(A^c∩B) berechnen." Was ist an diesem Satz unklar?

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ich weiss ,dass P ( A U B ) = P(A) + P(B) - P(A∩ B) ist. Aber ich finde die Formel zu P(A∩ B) nicht. Gibt es eine dazu oder? Und ich verstehe nicht warum ist P(A∩B) + P(A^c∩B) gleich P(B) ?

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> Aber ich finde die Formel zu P(A∩ B) nicht.

P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)

> warum ist P(A∩B) + P(A^c∩B) gleich P(B)

Weil B = (A∩B) ∪ (A^c∩B) und (A∩B) ∩ (A^c∩B) = ∅ ist.