Zuordnungsvorschriften ; Überprüfung auf injektivität usw..

Question

Leider werde ich aus meinen Mitschriften bei dieser Aufgabe nicht schlau und habe nicht einmal einen Ansatz wie diese Funktionen zu überprüfen sind.

f₁ ∶x↦ x³ +2

f₂ ∶x↦ x² −2x−3

(a)  Untersuchen Sie jeweils, ob diese Zuordnungsvorschriften eine Funktion von R nach R definiert (d.h. der Defintionsbereich ist ganz R). Sollte dies der Fall sein, so untersuchen Sie, ob die Funktion injektiv bzw. surjektiv ist. Geben Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion an.

(b)  Bestimmen Sie die Kompositionen f1 ○ f2 und f2 ○ f1 sowie deren maximale Definitionsbereiche.

(c)  Bestimmen Sie das Urbild f-13(]−∞,0]).

Answer 1

f1 ist auf ganz R definiert und geht für x gegen - unendlich nach - unendlich und

für x gegen + unendlich nach + unendlich und zwischendurch werden alle Werte

angenommen, also surjektiv.

und da für je zwei verschiedene x-Werte die Funktionswerte verschieden sind,auch Injektiv.

Umkehrung      y =   x^3 + 2
 
                      y-2  =  x^3  

                  (y-2)^1/3 = xalso Umkehrfkt:       g    : IR --->  IR    mit  g(x) =  (x-2)^1/3