Sei X eine Menge und Y⊂X eine Teilmenge. Wir sagen a ~ b für a, b ∈ X , genau dann, wenn a=b oder a € Y und b € Y sind

Question

Sei \( X \) eine Menge und \( Y \subset X \) eine Teilmenge. Wir sagen \( a \sim b \) für \( a, b \in X \), genau dann, wenn \( a=b \) oder \( a \in Y \) und \( b \in Y \) sind.

Wenn es eine Äquivalenzrelation ist sollen, die Äquivalenzklassen noch bestimmt werden.

Answer 1

~ reflexiv , also für alle a ∈ X gilt  a ~ a stimmt, weil die 1. Bedingung erfüllt ist.

~ symmetrisch also  a ~ b ⇒  b ~ a    stimmt, denn 

a ~ b ⇒   a = b  v  a ∈ Y  ∧  b ∈ Y 

also natürlich auch    b=a     b ∈ Y   ∧  a ∈ Y  .

~  transitiv    a ~ b   ∧  b ~ c  ⇒  a ~ c

 ⇒   ( a = b  v  a ∈ Y  ∧   b ∈ Y ) ∧   ( b = c  v  b ∈ Y  ∧   c ∈ Y  )

1. Fall  a=b   ∧   ( b = c  v  b ∈ Y  ∧   c ∈ Y  )also kann man im hinteren Teil b durch a ersetzen

                ⇒   a = c  v  a ∈ Y  ∧   c ∈ Y 

                    also    a ~ c
2. Fall entsprechend b=c

3. Fall    a ∈ Y    ∧   b ∈ Y    ∧   b ∈ Y  ∧   c ∈ Y  



dann ist aber   a = c  v  a ∈ Y  ∧   c ∈ Y 

auch erfüllt.

Also Äquivalenzrel.

Comments

Wie kann man die Äquivalenzklasse nun zu dieser Äquivalenzrelation bilden .... Also muss man ein festes X wählen und wie macht man das weiter

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In einer Klasse sind immer die, die miteinander in der Relation stehen,also zum einen alle aus Y und zum anderen alle einelementigen Teilmengen von X \ Y.

Kann man das mathematisch aufschreiben oder langt solch eine Begründung?

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alle einelementigen

Teilmengen von X \ Y.

=  {  Z ∈ P ( X \ Y)   | #Z = 1 }

Das "P" ist Potenzmenge = Menge aller Teilmengen