Ist meine Lösung so richtig? Zeigen Sie: falls g°f injektiv ist, so ist auch f injektiv.

Question

Aufgabenstellung: Es seien f: X→Y und g: Y→Z Abbildungen. Die Verknüpfung g°f : X→Z ist gegeben durch x↦g(f(x)). Zeigen Sie: falls g°f injektiv ist, so ist auch f injektiv.

(kleine Notiz von mir: Ich weiß gerade nicht, ob dieses Symbol ° wirklich das Richtige ist, aber es soll ein "Kringel" darstellen, ein anderes Symbol konnte ich leider nicht finden.)

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

g°f injektiv bedeutet: ∀z∈Z: f^-1(z) leer oder einelementig

g(f(x₁)) = g(f(x₂))

f(x₁) = f(x₂)

x₁ = x₂

f injektiv bedeutet: ∀y∈Y: f^-1(y) leer oder einelementig

f(x₁) = f(x₂)

x₁ = x₂

Somit muss f injektiv sein, damit auch g°f injektiv ist.

Comments

> Ich weiß gerade nicht, ob dieses Symbol ° wirklich das Richtige ist

Das ist eher unwichtig, weil du durch "ist gegeben durch x↦g(f(x))" eindeutig festgelegt hast, was du damit meinst. Und diese Bedeutung ist für den Rest deines Textes maßgeblich.

Answer 1

> g(f(x₁)) = g(f(x₂))
> f(x₁) = f(x₂)

Das gilt nur, wenn g injektiv ist. Dass g injektiv ist, ist aber nicht Teil der Voraussetzungen.

Stattdessen würde ich die Kontraposition zeigen: wenn f nicht injektiv ist, dann kann g°f nicht injektiv sein.

Angenommen f ist nicht injektiv. Seien dann x₁, x₂ ∈ X mit x₁ ≠ x₂ und f(x₁) = f(x₂). Was heißt das für g°f(x₁) und g°f(x₂)?