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Hallo ich habe eine Frage. Wie beweise ich das hier:

Seien R⊆A×B, S⊆B×C und T⊆C×D Relationen.

Beweisen Sie:

(S o R)-1 = S-1 o R-1

von

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Grundsätzlich gilt, dass du bei der Umformung nur das verwenden darfst, was ist für die Komposition eurer Relationen definiert habt.

Ich schätze jetzt einfach mal.

Offenbar habt ihr für alle Relationen inverse Elemente und bei der o-Verknüpfung wird zuerst die Operation rechts und dann die Operation links ausgeführt.

Wegen R⊆A×B, S⊆B×C ist S o R⊆ A×C ,     (S o R)-1  ⊆ C×A,                   

Bei S-1 o R-1         gibt's nun ev. ein Problem mit dem Definitionsbereich, Da zuerst B → A und dann von C-------> B

Das liegt wohl an den Definitionen, die ihr verwendet und an die ihr euch halten müsst.

 

Egal. Bei mir gilt Folgendes: (Du musst also ev. anpassen)

(S o R)-1 = S-1 o R-1

Ich multipliziere nun mal von rechts mit R

(S o R)-1 o R = (S-1 o R-1) o R

Gemäss Assoziativgesetz gilt

(S o R)-1 o R = S-1 o (R-1o R) = S-1 o E = S-1

Nun Mult. mit S von rechts

((S o R)-1 o R) o S= S-1 o S = E

Assoziativgesetz links

(S o R)-1 o (R o S) = E

Nun habe ich bewiesen, dass (S o R)-1  das inverse Element ist von (R o S).

Damit die Angaben zu den Definitionsmengen ok sind, müsste ich R und S vertauschen.

 

Du musst aber erst prüfen, ob du das Assoziativgesetz und die Eigenschaften von Inversen verwenden darfst.

Dann kannst du allenfalls die Umformung anpassen. Das Kommutativgesetz ist aber wegen der unterschiedlichen Grundmengen ausgeschlossen.

 

 

 

 

von 160 k 🚀

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