Ich denke mal, dass hier gilt: $$\sigma=X-\mathbb EX?$$
Die Quadratfunktion ist konvex, und ich weiß nicht, welche Version der Jensen-Ungleichung du dir angeschaut hast, aber die für konvexe Funktionen und Erwartungswerte lautet sie:
$$\mathbb E[f(X)]\geq f(\mathbb EX)$$
$$\text{Für }f(X)=X^2\text{ ist das}\colon$$
$$\mathbb E[X^2]\geq (\mathbb EX)^2$$
Soweit klar (das ist ja der Grund, wieso die Varianz nie negativ wird).
Man kann aber hier genausogut auch (X-EX)^2 einsetzen, da X-EX nur eine Verschiebung um eine Konstante ist und das Quadrat einer Zufallsvariablen wieder eine Zufallsvariable ist. Deshalb:
$$\mathbb E[((X-\mathbb EX)^2)^2]=\mathbb E[(X-\mathbb EX)^4]\geq \mathbb E[(X-\mathbb EX)^2]^2$$
Und in deiner Schreibweise:
$$\mathbb E[\sigma^4]\geq \mathbb E[\sigma^2]^2$$
