Satz mit Hilfe von Quantoren an: Die einzigen aufeinanderfolgenden Potenzen natürlicher Zahlen sind 8 und 9.

Question

wie kann man folgendes mit Hilfe von Quantoren angeben?

Die einzigen aufeinanderfolgenden Potenzen natürlicher Zahlen sind 8 und 9.
(Natürlich soll der Exponent eine größere natürliche Zahl als 1 sein)

danke :)

Answer 1

Nur die Angabe oder sollst du es auch lösen?

Die genaue Angabe, die du in Quantoren umschreiben wirst, ist folgende:

Für alle natürlichen Zahlen m, n, s und t gilt: Sind s und t größer als 1 und m^s+1=n^t, dann folgt daraus, dass m^s=8 und n^t=9 ist. (diese Implikation schließt alle anderen Möglichkeiten aus, denn sie bedeutet, dass zu jeder Zeit entweder die linke Aussage falsch oder die rechte wahr ist, mit anderen Worten: Es gibt keine anderen Nachbar-Potenzen als 8 und 9).

In Quantorenschreibweise:

$$\forall m,n,s,t \in \mathbb N\colon (s>1 \wedge t >1\wedge m^s+1=n^t) \Rightarrow (m^s=8 \wedge n^t=9).$$

Answer 2

Für jede natürliche Zahl n gilt: wenn natürliche Zahlen a, b, p und q existieren, so dass a^p +1 = b^q und  a^p = n und p > 1 und q > 1sind, dann ist n=8.