Nichtleer und nach oben beschränkt definition: -A:= {-a: a e A}. sup(-A) = -inf(A)

Question

Nichtleer und nach oben beschränkt definition: -A:= {-a: a e A}.

Zeigen sie, dass gilt:

sup(-A) = -inf(A) 

Answer 1

sup(-A) = -inf(A) 


Sei  x = sup(-A)   und   y  = -inf(A)  .

1.  y  ist eine  obere Schranke von  - A ; denn 

y  = -inf(A)    ⇔     - y  =  inf(A)

also ist - y eine untere Schranke für A, also für

alle   a aus A gilt   - y  ≤  a    also

                             y  ≥  - a

Sei nun b aus - A, dann gibt es a aus A mit  b = -a

also       y  ≥  b   . 

2.  y ist die kleinste ob. Schranke von - A.

Sei also z < y auch eine obere Schranke von  - A,     #

dann   gilt für alle  b aus  -  A      z  ≥  b  

und damit             - z  ≤   - b
Also gilt für alle a aus A   - z  ≤   - ( - a )  =  a    also

ist - z  eine  untere Schranke für  A und damit 

-z  <  inf( A)  =  - y   also

  z >  y   im Widerspruch zu  #