Operation zweier Vektoren in der Ebene

Question

Die Multiplikation zweier Vektoren sei wie folgt defineirt:

(x₁,x₂)*(y₁ , y₂) = ( x₁y₁-x₂y₂ , y₁x₂+x₁y₂ )

Wie würdet ihr das geometrisch interpretieren?

Anhand meiner Skizzen und Proberechnungen, habe ich erkannt, dass das Produkt der Beträge von (x₁,x₂) und (y₁ , y₂) gleich dem Betrag von ( x₁y₁-x₂y₂ , y₁x₂+x₁y₂ ) ist.

Desweiteren gab es bei dem Probewert eine Art Spiegelung an der y-Achse. Ich kann die Operation leider noch nicht identifizieren, handelt es sich um eine bekannte Operation?

Answer 1

Du kannst $$(x_1y_1-x_2y_2,x_1y_2+x_2y_1)=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}y_1&y_2\\-y_2&y_1\end{pmatrix}$$ schreiben und dann fur festes \((y_1,y_2)\) untersuchen, was diese Matrix für eine Abbildung vermittelt.

Oder Du wechselst zu Polarkoordinaten $$(x_1,x_2)=r(\cos\phi,\sin\phi),\quad (y_1,y_2)=s(\cos\psi,\sin\psi),$$ und rechnest das Produkt um.

Oder Du wartest es einfach ab. Denn dieses Produkt ist das Produkt komplexer Zahlen und dazu wird noch was erzaehlt werden.