Schnittgerade h zweier Ebenen: F durch A(3,7,1), B(1,8,4), C(2;3;4) und E: 2x1 + x2 + 2x3 = 14

Question

die Aufgabe lautet :

Die Ebene F_ABC , in der das Dreieck ABC liegt , und die Ebene E schneiden sich in einer Geraden h.

Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Schnittgeraden h.

Hier sind die Punkte der Dreiecke : A(3,7,1) ; B ( 1,8,4) , C(2;3;4)

Die Ebene lautet E: 2x1 + x2 + 2x3 = 14

Nun zu allererst meine Frage: Wie bekomme ich die Ebene von F_ABC raus ?

Answer 1

Wegen der unschönen Indizes benutze ich x,y und z. Vektoren statt Spalten resp. Pfeilen: fett

 A(3,7,1) ; B ( 1,8,4) , C(2;3;4)

Die Ebene lautet E: 2x + y + 2z = 14

Zu deiner ersten Frage F:

Für F kannst du die Parametergleichung der Ebene aus den Punkten ablesen.

r = (3,7,1) + t (-2,1,3) + s (-1,-4,3)

Nun die Komponenten x, y und z in die Gleichung der 2. Ebene einsetzen.

2(3-2t-s) + 7+t-4s + 2(1 + 3t + 3s) = 14

6 - 4t - 2s + 7 + t - 4s + 2 + 6t + 6s = 14

15 +3t  = 14

3t = -1

t = -1/3

Wenn das stimmt, ist eine Parametergleichung der Schnittgeraden:

h: r = (3,7,1)  - 1/3 (-2,1,3) + s (-1,-4,3)

r = (3 + 2/3 , 7 - 1/3, 1 -1) + s(-1,-4,3)

= (11/3, 20/3, 0) + s(-1,-4,3)

Anmerkung: unbedingt noch nachrechnen. Beachte: Parametergleichungen sind nicht eindeutig. Die Richtungsvektoren sollten aber zueinander parallel sein.

Comments

danke ich werde nachrechnen.

Ich habe hier erstmal für die Ebene F : 5x1 + x2 + 3x3 = 25

und für die Schnittgerade habe ich : h : x= (3,4,2) + r(1,4,-3)

 

Was sind Ihre Ebene F ? Sry aber ich verstehe Ihre Rechnung nicht ganz

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Sie haben aus den Punkten A B und C eine Ebene gebildet und somit ist die Ebene , die Ebene von F ?

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Ich habe F nur in Parameterform belassen.

Die Richtung deiner Schnittgeraden stimmt mit meiner überein.

Nun prüfe ich noch, ob dein Stützpunkt auf meinem h liegt.

(3,4,2) = (11/3, 20/3, 0) + s(-1,-4,3)

3 = 11/3 - s

s= 11/3 - 9/3 = 2/3

4 =? = 20/3 - 8/3 = 4 richtig

2 =? = 3 * 2/3 = 2 richtig

Wir haben somit die gleiche Geraden gefunden. 

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ist mein stütztpunkt falsch oder Ihrer ?

Ich habe Ihre Rechnung nochmal nachgerechnet und auf das gleiche Ergebnis gekommen.

Welchen Fehler muss ich finden, also bei den Stützpunkt von Ihnen oder von mir ?

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Ich weiss, dass nicht. Habe oben noch etwas Farbe in meine Rechnung gebracht. Vielleicht findet man so den Fehler einfacher. Deine Rechnung kann ich nicht ansehen, wenn du sie nicht vollständig abschreiben willst.

PS. Du kannst hier übrigens allen 'du' sagen.

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ich habe hier den Fehler gefunden :

Bei t in F einsetzen :

(3,7,1) - 1/3 * (-2,1,3) +s(-1,-4,3)  = (11/3, 20/3, 0) + s(-1,-4,3)

Bei Stützpunkt kommt 11/3 nicht 13/3 ;)

Oder habe ich da was falsch gemacht ?

Stimmt jetzt die Lösung ?

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Super. Danke. Ich habe das oben so korrigiert und dann nachgerechnet im Kommentar (violett) Jetzt stimmen unsere Lösungen überein. D.h. du hattest richtig gerechnet!