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ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher, ob ich mit meiner Lösung richtig liege.

Sei xn mit n ∈ ℕ eine konvergente Folge reeller Zahlen : lim n ->∞ xn = a.

Zeigen Sie dass für jede Teilfolge gilt : lim k ->∞ xnk =a.


Meine Überlegung wäre:

$$für\quad \varepsilon \quad >\quad 0\quad \exists \quad N\quad \epsilon \quad nat.Zahlen\quad ,\quad so\quad dass\quad für\quad alle\quad n\quad \ge \quad N:\quad |{ x }_{ n }-a|<\quad \varepsilon $$

$$für\quad k\quad \ge \quad N\quad ist\quad { n }_{ k }\quad \ge N\quad und\quad somit\quad |{ x }_{ { n }_{ k } }-a|\quad <\quad \varepsilon $$

Hier bin ich dann doch fertig, oder?

Die Begründung in Worten wäre doch dass wenn U eine beliebige Umgebung des Grenzwertes der Folge xn ist, so enthält U fast alle Glieder der Folge xn und damit auch fast alle Glieder der Teilfolge von xn.

Jetzt habe ich gezeigt dass die teilfolge konvergent ist aber wie zeige ich dass diese gegen den gleichen grenzwert konvergiert?



mfg

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1 Antwort

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Das steckt doch in der Ungl.   | xnk - a | < eps.

Das a ist der Grenzwert.

Avatar von 287 k 🚀

Okay also bin ich damit fertig?
War mir unsicher da ich ja eigentlich nur die Definition der Konvergenz verwendet habe und nicht wusste ob dass ein schlüssiger beweis ist

Klar, wenn du aus der Def. für die ganze Folge, die Gültigkeit

für die Teilfolge herleiten kannst, bist du fertig

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