Beweis von Divergenz, Konvergenz, Nullfolge

Question

Weiß jemand wie man das mathematisch richtig löst ?

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$$\text{Z.B. ist }\frac{n^n}{n!}=\prod_{k=1}^n\frac nk>\frac n1\cdot\prod_{k=2}^{n-1}1=n\text{ für alle }n>2.$$ Die Folge \(a_n\) aus (a)(i) ist also nicht beschränkt und deshalb nicht konvergent.

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Zu (c): Da \(b_n\) beschränkt ist, existiert ein \(K\in\mathbb R\) mit \(\vert b_n\vert< K\) für alle \(n\in\mathbb N\). Wenn \(a_n\) eine Nullfolge ist, existiert zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(N\in\mathbb N\) mit \(\vert a_n\vert<\frac\varepsilon K\) für alle \(n>N\). Damit gilt \(\vert a_n\cdot b_n\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert<\frac\varepsilon K\cdot K=\varepsilon\). Die Folge \(\{a_n\cdot b_n\}\) ist also ebenfalls eine Nullfolge.
Ist \(a_n\) konvergent aber keine Nullfolge gilt die Aussage nicht, wie das Gegenbeispiel \(a_n=1\) und \(b_n=(-1)^n\) zeigt.