Vollständige Induktion: Teilt 3 2^2n - 1?

Question

Ich wüsste gerne, ob das, was ich gerechnet habe so stimmig ist. Ich soll eine Vollständige Induktion über n durchführen.
Die Aufhabe lautet: Für alle n ∈ ℕ gilt: 3 teilt 2²ⁿ  - 1
Meine Ergebnisse sind folgende:
Induktionsanfang: gilt für bsp n = 1, da
2^2*1 - 1 = 3 und 3 teilt 3, also ist die Gleichung für ein n richtig.
Induktionsvoraussetzung :
Die Aussage gelte für n = n + 1, also2²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1
Induktionsschritt:
2²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1= 2²ⁿ⁺² - 1= 2²ⁿ * 2² - 1= 2²ⁿ * 4 - 1

Das wäre meine folgerung. Wenn ich in meine eigentliche Gleichung 3 einsetze und in meine umgestellte mit n + 1 2 einsetze kommt auch das richtige Ergebnis raus. Ist das nun der Beweis oder muss ich noch etwas machen?

Answer 1

Voraussetzung: 2²ⁿ  - 1 = 3*m , m Element Z.  

Beweis: Du hast

2²ⁿ * 4 - 1 =  (2²ⁿ - 1)  * 4   + 4 - 1         | so ähnlich wie eine quadratische Ergänzung

= 3* m * 4 + 3

= 3* (4m + 1)  q.e.d. 

Answer 2

du musst nach etwas weiter rechnen ( und die IV benutzen):

> 2²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1= 2²ⁿ⁺² - 1= 2²ⁿ * 2² - 1= 2²ⁿ * 4 - 1 

2²ⁿ * 4 - 1  = 2²ⁿ * (3+1) - 1 = 3 * 2²ⁿ  + (2²ⁿ - 1)  

3 * 2²ⁿ     ist durch 3 teilbar

2²ⁿ - 1    ist nach Induktionsvoraussetzung durch 3 telbar

→  die Summe der beiden durch 3 teilbaren Summanden ist durch 3 teilbar

Gruß Wolfgang

Answer 3

Deine Schlussfolgerung ist völlig falsch.

Deine Rechnung ist nicht ganz fertig. Du musst den Term so umformen, dass Deine Bedingung wieder darin vorkommt und noch ein Term, der durch 3 teilbar ist, d.h. Du brauchst die Form

$$ (2^{2n}-1) + 3 \cdot (\dots) $$

Grüße,

M.B.

Answer 4

Induktionsvoraussetzung :
Die Aussage gelte für n = n + 1, also2²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1

Was soll das sein? Die Induktionsvoraussetzung besagt, dass die Formel für ein bestimmtes, fixiertes n gilt. ("n = n + 1" ist auch voelliger Bloedsinn.  " ... also 2²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1" noch groesserer. Da steckt keine Aussage drin, was soll da gelten?)

Richtig waere:

Induktionsvoraussetzung:

Es gelte 3 | 2²ⁿ - 1 für ein bestimmtes n.

Induktionsschritt:

Mit n ist das n aus der Induktionsvoraussetzung gemeint. Zu zeigen ist jetzt (unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung) dass dann auch 3 | 2²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1 gilt.

Verwende dazu die Gleichung 2²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1 = 4(2²ⁿ -1) + 3.