Question

1. Berechnen Sie Re z, Im z, |z| und z^{−2} für

   (a) z=in,n∈N

   (b) z = (1+2i)/(-3+i)

Answer 1

Berechnen Sie Re z, Im z, |z| und z^{−2} für

(a) z=i^n, n∈N

z^{-2} = (i^n)^{-2}

= i^{-2n}

= (i^{-2})^n

= (-1)^n

= {  1 für gerade n

.   -1 für n ungerade

(b) z = (1+2i)/(-3+i)

z^{-2} = ((-3+i)/(1+2i))^2

= ((-3+i)/(1+2i))^2

= (-3+i)^2 /(1+2i)^2

= ( 9 - 6i + i^2) /( 1 + 4i + 4i^2)

= ( 8 - 6i) /( -3 + 4i) 

Nun kannst du nachrechnen und dann beim Resultat noch einen reellen Nenner machen, falls ihr das machen sollt.

Answer 2

(a) z=iⁿ,n∈N     i² = -1   also Re=-1  und Im=0
                            i³ = -i      also Re=0  und Im=-1
                            i⁴ = 1   also Re=1  und Im=0
                             i⁵ = i      also Re=0  und Im=1

 etc. wiederholt sich

(b) z = (1+2i)/(-3+i)  =(1+2i)/(-3-i)  / (-3+i)(-3-i) 


= ( -3 + i  - 6i + 2 ) /   (9+1) =   -0,1 - 0,5i