Was haben die Sigma-Regeln auf sich? (Binomialverteilung)

Question

unser Lehrer war krank und hat uns einen Info Zettel über die Sigma-Regeln zukommen lassen. Wir sollen uns das selber beibringen und für die kommende Klausur vorbereiten.

Leider komme ich damit gar nicht zu recht. Ich verstehe nicht einmal die grundlegenden Infos.

Wäre jemand so nett und würde mir das erläutern?

Bsp. für eine Aufgabe: Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n=1000 und p=0,04. Ermitteln Sie mithilfe der 3 σ - Regel den Bereich, in dem sich 99,7% der Realisierungen dieser Zufallsgröße befinden. 

Info: Mathe LK 12. Klasse

Danke

Answer 1

Bei binominalverteilten Zufallsgrößen lässt sich der Erwartungswert und die Standardabweichung mit folgenden Formeln berechnen:

$$\mu = n\cdot p\qquad ,\sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$$

Für das Beispiel ist also \(\mu=40\) und \(\sigma=1,697\).

Die Sigmaregeln besagen jetzt, dass sich der Wert der Zufallsvariablen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in einem  bestimmten Intervall um den Erwartungswert herum befinden- Bei einem Abstand von \(3\sigma\) halt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7%.

Also einfach \(\mu - 3\sigma\) für die linke Grenze und \(\mu + 3\sigma\) für die rechte Grenze ausrechnen, und als Intervall aufschreiben. Dabei die linke Grenze immer aufrunden und die rechte immer abrunden (auf ganze Zahlen)!

Das gesuchte Intervall ist also \([35;45]\), die Zufallsvariabe ist also mit 99,7% größergleich 35, aber kleinergleich 45.

Comments

Alos für \( n = 1000 \) und \( p = 0.4 \) kommt doch nie das raus, was Du da hingeschrieben hast.

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@ullim: Es soll aber p=0.04 sein!

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Ok, ok, dann ändere ich das bei mit auch noch. Kommt dann wohl das selbe raus.

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Nein, es dürfte dennoch falsch sein, vielleicht hat der Fragesteller versehentlich mit n=100 gerechnet.

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Also, ich habe nochmal nachgerechnet, \( \sigma  \) ist nicht richtig, es gilt \( \sigma = 6.197 \) (Zahlen Dreher?). Damit ergeben sich auch andere Schranken als 35 und 45, nämlich 22 und 58.

Desweiteren ist $$ P( 35 \le X \le 45 ) = 0.577  $$ und nicht 99.7%

Bei den Schranken 22 und 58 stimmt's wieder.

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Yup, Zahlendreher, danke für die Korrektur!

Answer 2

Hi,
der Mittelwert beträgt \( \mu = n \cdot p = 1000 \cdot 0.4 = 400 \) und die Streuung ist \( \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = 15.492 \)

D.h. der drei Sigmabereich um den Mittelwert ist \( [ \mu - 3 \cdot \sigma , \mu + 3 \sigma ] = [353.5 , 446.5] \)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable, die mit den gegebenen Parametern binomial verteilt ist, im Intervall von  354 bis 446 liegt, ist
$$ P(354 \le X \le 446) = 99.7 \%  $$