Sei (X, d) ein metrischer Raum. (i) Zeige: | d(x,y) - d(x',y') | ≤ für x, x', y, y' ∈ X (ii) Sei ∅ ≠ M ⊂ X und (X \ $$ \bar { M } $$) ≠ ∅. Sei d(x,M) := inf{d(x,y): y∈M} für alle x∈X definiert.Zeige, dass die Abbildung d( ,M): X → ℝ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante 1 ist. zu (i) habe ich folgenden Lösungsansatz: | d(x,y) - d(x',y') | ≤ | d(x,x') + d(x',y) - ( d(x',y) + d(y,y') ) | = | d(x,x') + d(x',y) - d(x',y) - d(y,y') |daraus folgt: | d(x,y) - d(x',y') | ≤ | d(x,x') - d(y,y') | ≤ d(x,x') + d(y,y')es ist noch die zweite Ungleichung zu zeigen, und wie kann ich das am besten zeigen und wie genau? bei (ii) habe ich leider keinen Lösungsansatz.
