V ist ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Wann ist v aus V = 0?

Question

ich komme hier nicht aufs Ergebnis:

Hat jemand eine kluge Idee parat?

Answer 1

Sei v≠0_vektor.    #

Dann ist  das einelementige Sytem  { v } lin. unabhängig

und lässt sich deshalb zu einer Basis von V ergänzen.

Durch Angabe der Bilder einer Basis ist eine lineare Abb. immer eindeutig

bestimmt, also Definiere die Abbildung φ durch 

φ(v) = v   und      φ(w) = 0_vektor  für alle anderen Basisvektoren w.

Dann ist jedenfalls  φ(v) = v ≠ 0 für diese lin. Abb.Wenn also für lin. Abb   φ(v) = v   gilt, dann kann # nicht gelten,

also  muss  v der Nullvektor sein.