Vorweg, ich selbst bin nur angehender ElektroIngenieur und kein Mathematiker, hinterfrage also alles was du siehst:
Wenn du deine Gleichung Laplace Transformierst erhältst du:
Y=(18-s^2)/(s^2*(s^2+9)) und beim transformieren ist dir auch der Fehler unterlaufen.
denn wie du richtig schreibst ist L{y ' '} = s^2*Y - s*y(0) -y ' (0)
in der nächsten Zeile jedoch lässt du -y ' (0) ,das ja den wert -1 hat, zu Y werden.
Weiter in der Rechnung:
du machst nun wahlweise Partialbruchzerlegung, bei komplexen nicht immer empfehlenswert! aber übersichtlicher zum Einsteigen
Y= 2/s^2 + (i/2)/(s-3i) - (i/2)/(s+3i)
Nun musst du noch zurücktransformieren ->
y(t) = 2*t + i/2 * exp(3it) - i/2* exp(-3it)
und harmonisch darstellen:
y(t) = 2*t - sin(3t)
y(0) ist 0 y ' (0) ist -1 und y in die Gleichung eingesetzt gibt true zurück, diese Lösung ist also garantiert korrekt
den letzten Schritt, sowie die komplexen Zahlen kannst du umgehen wenn du dir die Laplace Transformation vom Sinus mal genau ansiehst.
Viel Spass beim rechnen
