Laplacetransformation Anfangswertproblem y´´+2y´-3y=8e^-t y(0)=4 y´(0)=0

Question

Ich soll mittels Laplacetransformation folgendes Anfangswertproblem lösen.

y´´+2y´-3y=8e^-t  y(0)=4  y´(0)=0

Lösung müsste sein: y(t)=2e^-3t+4e^t-2e-t Dabei bin ich mir aber nicht ganz sicher, da die Folie fehlerhaft angezeigt wird.

Ich komme allerdings nur bis F(p)=8/(p+1)(p-1)(p+3)  +  4p/(p-1)(p+3)   +  8/(p-1)(p+3)

Könnte mir einer den Ansatz verraten, wie ich das wieder in den Originalbereich zurücktransformieren kann?

Comments

Leider kenne ich die Lösung deiner linearen Differentialgleichung 2. Ordnung nicht, weil ich kein Student bin, aber gib doch mal unter www.youtube.com die Suchanfrage "Jörn Loviscach Laplace-Transformation" ein, vielleicht hilft dir das ja weiter ?? Jörn Loviscach hat auch viele andere Lehrvideos über Differentialgleicchungen und andere mathematische Themen bei Youtube reingestellt. Sie sind mal mehr und mal weniger verständlich bzw. ausführlich, zumindest aus der Sicht eines Laien betrachtet. 

---

Nachschlag --> Es empfiehlt sich auch generell bei www.youtube.com einfach nur "Laplace-Transformation" einzugeben, da gibt es eine ganze Menge an Videos, nicht nur von Jörn Loviscach.

Answer 1

Vorweg, ich bin lediglich angehender ElektroIngenieur und kein Mathematiker, nimm also nicht alles für bare Münze.

beim transformieren mit Anfangswerten ist wichtig zu beachten, dass die noch mit einfliessen, in der folgenden Form.

f ' ' (t) -> s^2 * F(s) -s* f(0) - f ' (0)

f  ' (t) -> s * F(s) - f(0)

die Laplace Transformation deiner Gleichung ergibt also

Y(s)=(8/(s+1) + 4s +8) / (s^2 + 2s -3) also dasselbe Resultat das du hattest

zuerst würde ich alles auf einen Nenner bringen:

(4s^2 + 12s +16)/((s+1)*(s-1)*(s+3))

dann machst du Partialbruchzerlegung:

(-2)/(s+1)+(4)/(s-1)+(2)/(s+3)

das kannst du nun einfach zurücktransformieren mit dem Ansatz, dass eine Verschiebung im Laplace-Raum einer Dämpfung im Zeitraum entspricht.

y(t)=-2*exp(-t)+4*exp(t)+2*exp(-3t)

y(0) eingesetzt ergibt 4, y ' (0) eingesetzt gibt null und in die Gleichung eingesetzt ist true.

Die Lösung ist also garantiert korrekt. Auch wenn dies bei den meisten Musterlösungen nicht der Fall ist.

Gruss und viel Spass beim rechnen