2 mal 50% Erfolg bei 5 mal 20% Erfolg. Gewinnchance gleich?

Question

ich habe folgende Aufgabe:

Person A hat eine Erfolgsquote von 50% Kegel umzuwerfen  und Person B hat eine 20% Erfolgsquote Kegel umzuwerfen. Die Anzahl der Kegel ist dabei ega. Damit es fair ist, sagt A, dass B  5 mal Werfen darf und A nur 2 mal.

Mit welcher Wahrscheinlochkeit gewinnt wer?

Wäre für jeden Tipp dankbar.  Habe die bernoulli verteilungen ausgerechnet, aber komme absolut nicht weiter...

Answer 1

Person A hat eine Erfolgsquote von 50% Kegel umzuwerfen  und Person B hat eine 20% Erfolgsquote Kegel umzuwerfen. Die Anzahl der Kegel ist dabei egal. Damit es fair ist, sagt A, dass B  5 mal Werfen darf und A nur 2 mal. 

1 Wurf: P(B) = 0.2

2 Würfe: P(A) = 0.8*0.5

3 Würfe: P(B) = 0.8 * 0.5 * 0.2

4 Würfe: P(A) = 0.8*0.5*0.8 * 0.5

5 Würfe: P(B) = 0.8 * 0.5 * 0.8 * 0.5 * 0.2

....

P(B) = 0.2 + 0.5*0.8 * 0.2 + (0.5*0.8)^2 * 0.2 + .....

Geometrische Reihe mit a1 = 0.2 und q = 0.8*0.5= 0.4

==>

P(B) = 0.2 * 1/(1-0.4) = 0.2 * 1/(0.6) = 1/3 

==>

P(A) = 2/3.

Zur Kontrolle noch:

P(A) = 0.5*0.8 * (1/(1-0.4)) = 0.4 * 1/(0.6) = 2/3 .

Comments

Was soll denn diese Antwort mit der Frage zu tun haben ?

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Du hast recht. Ich bin davon ausgegangen, dass B zuerst werfen kann und nur weiter geworfen wird, solange noch kein Kegel umgefallen ist und dann abwechslungsweise geworfen wird.

Man muss hier nochmals anfangen und erst mal festlegen, wann genau ein Gewinn vorliegt und ob z.B. 2 Treffer bei A und bei B gleich zu bewerten sind.

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Person A hat eine Erfolgsquote von 50% Kegel umzuwerfen  und Person B hat eine 20% Erfolgsquote Kegel umzuwerfen. Die Anzahl der Kegel ist dabei egal. Damit es fair ist, sagt A, dass B  5 mal Werfen darf und A nur 2 mal. 

A gewinnt, wenn A mindestens einmal von 2 mal trifft.

Gegenereignis: A trifft nie.

P(A) = 1 - 0.5^2 = 0.75 = 75% 

B gewinnt, wenn B mindestens einmal von 5 mal trifft.

Gegenereignis: B trifft nie. 

P(A) = 1 - 0.8^5  = 0.67232 = 67.232% 

Diese Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich nun nicht zu 1 und sagen daher nicht aus mit welcher Wahrscheinlichkeit A  B schlägt, sondern nur mit welcher Wahrsch. der jeweilige überhaupt trifft. 

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Es lässt sich daraus aber leicht schließen, dass A mit einer Wahrscheinlichkeit von 59,4% gewinnt.

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@hj2166 Wie definierst du Gewinn? Bei welchem Ausgang gewinnt A vor B ? Am besten formuliert in einem umgangssprachlichen Satz.

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Eine Runde besteht aus sieben Würfen. A hat zwei Versuche, B hat fünf Versuche, die Reihenfolge ist egal.

Wenn A mindestens einmal trifft aber B nicht, dann hat A gewonnen und das Spiel ist beendet..
Wenn B mindestens einmal trifft aber A nicht, dann hat B gewonnen und das Spiel ist aus.
In allen anderen Fällen hat keiner gewonnen, das Spiel ist noch unentschieden, es wird mit der nächsten Runde unter gleichen Bedingungen fortgesetzt bis einer von beiden gewonnen hat.