Mehrfache Anwendung der Produkt- und Kettenregel

Question

ich muss nur einmal sehen, wie das funktioniert. Könntet ihr für mich 17 a) und 20 a) machen, damit ich dann die anderen schaffe? Vielleicht noch eine kurze Erklärung am rande?

Answer 1

Für 17 (a):

$$f(x)=(x^2+1)\cdot\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}\\\begin{aligned}u_1&=x^2+1, \qquad &&u_1'=2x\\v_1&= \sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}\\u_2 &= \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} &&u_2'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\v_2&=\frac{1}{x}=x^{-1} &&v_2'=-x^{-2}\\v_1'&=x^{\frac{1}{2}}\cdot \left( -x^{-2}\right)+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\cdot x^{-1}\\&= -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\end{aligned}\\f'(x)=\left( x^2+1\right)\cdot\left( -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right) + 2x\cdot \sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}\\\qquad=-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3x^2-1}{2\sqrt{x^3}}$$