Es sei n € N und A1,...,An Mengen. Zeigen Sie: A1 x A2 x ... x An ist höchstens abzählbar <=> Ai ist höchstens abzählbar

Question

komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Es sei n ∈ ℕ und A1,...,An Mengen. Zeigen Sie:

A1 x A2 x ... x An ist höchstens abzählbar <=> Ai ist höchstens abzählbar

                                                                                  für alle i ∈ {1,2,...n}.

Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte :)

Answer 1

Mittels Cantors erstem Diagonalargument kann man zeigen, dass die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen höchstens abzählbaren Mengen höchstens abzählbar ist.

Es sind A₁ und A₂ höchstens abzählbar und A₁ × A₂ = ∪_a∈A2A₁×{a}. Jedes A₁×{a} ist höchstens abzählbar, weil es gleichmächtig zu A₁ ist. Mittels Induktion ist dann auch A₁ × A₂ × ... × A_n höchstens  abzählbar.