Determinante Definition mit Signum det(A)=det(A^t)

Question

Hi Community,

Ich schaue mir gerade den Beweis zu det(A) = det(A^t) ∀ A∈M_n(K) an.

In einem Schritt wird folgendes als wahr angenommen:

sign(σ) * a_{σ(1) 1} * ... * a_{σ(n) n} = sign(σ^-1) * a_{1 σ^-1(1)} * ... * a_{n σ^-1(n)}

Wieso stimmt das?

Ich hoffe jemand kann mir da weiterhelfen.

Gruss

Answer 1

Wie habt ihr Signum und sign genau definiert?

sign(σ) * a_{σ(1) 1} * ... * a_{σ(n) n} = sign(σ^-1) * a_{1 σ^-1(1)} * ... * a_{n σ^-1(n)}

Offenbar ist das sigma mit einem Argument eine umkehrbare Funktion sigma: {1....n} -> {1,...,n).

D.h. es kommen links und rechts in der Gleichung die gleichen a_(j k) vor. 

Nun musst du noch erklären, warum sign(sigma) = sign(sigma^{-1}) 

Comments

Also wir haben die Determinante so definiert:

det( a_ij ) = ∑sign(σ) * a_1σ(1) * ... * a_nσ(n)

Und das Signum sign(σ) ist ja für gerade Anzahl Vertauschungen sign(σ)=1 und sonst sign(σ)= -1.

die Einträge  a_1σ(1) * ... * a_nσ(n) die dazu multipliziert werden sind die Diagonaleinträge der Matrix bei der die besagte Vertauschung vorgenommen wurde. D.h wenn ich z.B. eine Matrix A= {{1,2},{3,4}} habe ist durch Vertauschung der ersten und zweiten Zeile σ_1= {{3,4}{1,2}} und sign(σ_1)=-1 weil eine Vertauschung vorgenommen wurde und 1 ungerade ist.

Ok nun verstehe ich aber immer noch nicht ganz wie man diesen Schritt machen kann den ich in meiner ursprünglichen Frage gestellt habe...