Eigenvector Bestimmen Frage

Question

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix},\lambda _{ 1 }\quad =\quad 3,\quad \lambda _{ 2/3 }\quad =\quad -3$$

Lösen Lambda_1

I	|	-2	2	2	|	0
||	|	2	-5	1	|	0
|||	|	2	1	-5	|	0

IV	|	1	-1	-1	|	0	(|*(-1)/2)
V	|	0	-3	3	|	0	(I+II)
VI	|	0	3	-3	|	0	(I+|||)

VII	|	1	-1	-1	|	0
VIII	|	0	1	-1	|	0	(V*-1/3)
IX	|	0	0	0	|	0	(V+VII)

v3 = t
v2 = v3
v1 = v2 + v3 = 2t
$$== {L}_{1 }^{H } \left\{ t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\quad t\quad e\quad R \right\}$$
Nun meine Fragen, wie kommt man auf die v1, v2, v3? Das bei IX egal ist welche Variablen man eingibt das immer 0 rauskommen wird ist mir bewusst Das es bei VIII auch egal ist ist mir auch bewusst, doch warum nimmt man dann die selbe Variable? Einfach weil es eh egal ist? Und V1 verstehe ich komplett nicht 
Wiese heißt der EV  2 \\ 1 \\ 1, wieso verschwindet das t aus der Lösung (laut Wolframalpha)
MFG 

 

Answer 1

Nun meine Fragen, wie kommt man auf die v1, v2, v3? Das bei IX egal ist welche Variablen man eingibt das immer 0 rauskommen wird ist mir bewusst .

Also kannst du dir eine aussuchen. Man nimmt meistens v3, weil durch die
Stufenform der Matrix dann immer mit der vorletzten Gleichung ( also hier VIII)

Das hieße ja  v2 - v3 = 0  und mit  v3=t gibt es   v2 = t
die nächste Variable bestimmt werden kann und dann mit den beiden
die erste durch  VII.
also hier     v1 - v2 - v3  und jetzt für v3 und v2 jeweils eingesetzt

             v1  -t  - t  = 0  also    v1 =  2t.

Das es bei VIII auch egal ist ist mir auch bewusst, doch warum nimmt man dann die selbe Variable? Einfach weil es eh egal ist? Und V1 verstehe ich komplett nicht 


Wiese heißt der EV  2 \\ 1 \\ 1, wieso verschwindet das t aus der Lösung (laut Wolframalpha)

Wolframalpha  gibt EINEN Eigenvektor an, aber alle Vielfachen davon sind auch welche.

Comments

wieso gilt v2 - v3 = 0, v1 - v2 - v3 = 0?

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Das sind doch einfach nur die Gleichungen VII und VIII.

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also könnte man es auch einfach nur als

VII = x-y-z = 0, VIII = y-z = 0 sehen und dann

y-z = 0 | + z == y = z

x-y-z = 0 = x -y -y = 0 = x -2y = 0 | +2y = x = 2y

y = t => x = 2t

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wie würde man zb

2	1	1	|	0
0	0	0	|	0
0	0	0	|	0

Lösen? Zeile 2 / 3 ist ja komplett egal => v2 / v3 = t

wie komme ich dann auf v1?

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Genau, ich fände das in der Form auch verständlicher.

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Bei

wie würde man zb

2	1	1	|	0
0	0	0	|	0
0	0	0	|	0

Lösen?

hast du zwei Parameter  etwa s und t für y und z ,und dann 2x = s + t

also x =  s/2 + t/2  und die Eigenvektoren sehen dann so

aus   (   s/2 + t/2   ;  s   ;  t   )

=  s*( 0,5 ; 1 ; 0 )  +  t * ( 0,5 ; 0 ; 1 )    sog. zweidimensionaler

Eigenraum.