Aufgabe zum Intervallhalbierungsverfahren

Question

Hey

Bestimme mithilfe des Intervallhalbierungsverfahren eine Lösung der GLeichung x³+2x-8=0 auf zwei Dezimalen genau! Wieso gibt es überhaupt eine Lösung in ℝ? Wie viele reelle Lösungen hat diese Gleichung insgesamt?

Schätze den Fehler e_n:=Betrag von z_n-x₀, der beim n-ten Schritt des Intervallhalbierungsverfahren passiert, ab! Dabei ist x₀ die tatsächliche Nullstelle einer reellen Funktion bzw. Lösung einer Gleichung über ℝ und z_n der n-te Näherungswert, den das Verfahren liefert.

Wie viele Schritte benötigt man (maximal) beim Intervallhalbierungsverfahren, um einen Fehler e_n kleiner als 10^-9 zu erhalten? Dabei geht man von einen Intervall [a₁,b₁] der Länge 1 aus.

Answer 1

Zunächst muss man ein Intervall finden, dass später halbiert werden kann und in dem eine Lösung vermutet werden darf. Zwischen den Punkten (1/-5) und (2/4) liegt wegen der Stetigkeit der Funktion f mit Sicherheit eine Nullstelle von f(x)=x³+2x-8. Ein Startintervall für das Intervallhalbierungsverfahren ist zum Beispiel [1;2]. Auf diesem Intervall ist  zu beachten, auf welcher Seite der x-Achse f(1.5) liegt, damit man entscheiden kann, ob das nächste Intervall [1;1.5] oder [1.5;2] sein muss.