Ja oder nein...surjektiver Homomorphismus?

Question

Sei f : V → V' ein Homomorphismus zwischen K-Vektorräumen, wobei V' endlichdimensional ist. Falls dim (Bi(f)) = dim(V') ist, folgt es, dass f surjektiv ist? (Ja oder nein?)

Comments

EDIT: Hallo Chica,

sind das alles unterschiedliche Aufgaben?

Hast du bei keinen von denen einen Ansatz? 

Brauchst du die Antworten auf Fragen von z.B. gestern und noch vorher überhaupt noch? 

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Ja und ja..
Ich bin für jede Hilfe, am besten Lösung mit Erklärung, dankbar...

Answer 1

Hallo Chica,

ein Vektorraum-Homomorphismus \( f : V \rightarrow V' \) mit \( \dim(\mathrm{im}(f)) = \dim(V') \) ist surjektiv.

Es ist zunächst \( \mathrm{im}(f) \subset V' \). Wegen \( \dim(\mathrm{im}(f)) = \dim(V') \) ist \( \mathrm{im}(f) \cong V' \). Damit ist kurz gesagt \( \mathrm{im}(f) = V' \).

Zur Isomorphie von Vektorräumen gleicher Dimension siehe https://de.wikiversity.org/wiki/Vektorraum/Isomorph_gdw_gleiche_Dimension/Fakt und dort "Beweis". Dort wird mit Vektorraumbasen von \( \mathrm{im}(f) \) und \( V' \) gearbeitet, die umkehrbar (bijektiv) ineinander übergehen.

Grüße

Mister