Beweise, dass beim radioaktiven Zerfall die Halbwertszeit unabhängig von der Anfangsmenge ist.

Question

Beweise, dass beim radioaktiven Zerfall die Halbwertszeit unabhängig

von der Anfangsmenge einer radioaktiven Substanz ist

Comments

Ist das nicht der Grund, weshalb man überhaupt die Exponentialfunktion benutzt?

Answer 1

Der radioaktive Zerfall erfolgt exponentiell und kann durch folgende Formel beschrieben werden:

K ( t ) = K₀ * e ^{- ( λ t )}

wobei K₀ die Menge des vorgelegten Materials zur Zeit t = 0 und λ eine Konstante ist, die vom Material abhängt (Zerfallskonstante).

Setzt man hier K ( t ) = K₀ / 2, also auf die Hälfte der ursprüngliche Materialmenge dann erhält man:

K₀ / 2 = K₀ * e^{- ( λ t )}

Division durch K₀ ergibt:

1 / 2 = e  ^{- ( λ t )}

Durch Auflösen nach t erhält man die Zeit, die vergeht bis sich die vorgelegte Menge durch den Zerfall halbiert hat, also die Halbwertszeit

<=> - λ t = ln ( 1 / 2 ) = 0 - ln ( 2 ) = - ln ( 2 )

<=> t = ln ( 2 ) / λ

Offensichtlich hängt die Halbwertszeit t ausschließlich von der materialbedingten Zerfallskonstante λ ab, nicht aber von der Menge K₀ des vorgelegten Materials.

Comments

-λ t = ln ( 1 / 2 ) = 0 - ln ( 2 ) = - ln ( 2 ) wieso kommst du auf o- ln (2)  ich hätte einfach dividiert durch  - lamda

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Du kannst natürlich auch schreiben:

t = ln ( 1 / 2 ) / - λ

das ist ebenfalls korrekt, aber da gilt:

ln ( 1 / 2 ) = ln ( 1 ) - ln ( 2 ) = 0 - ln ( 2 ) = - ln ( 2 )

ist das äquivalent zu:

t = ln ( 2 ) / λ

Diesen Ausdruck finde ich einfach etwas "schöner".