zeige, dass Z eine Gruppe ist: Frage zur Assoziativität

Question

Aufgabe lautet:

Sei Z x Z --> definiert durch a°b = a + b - 1.

Zeigen sie, dass (Z,°) eine Gruppe ist und geben sie das neutrale Element an.

Ich habe jetzt unten die Muster-Lösung und versuche zu verstehen, wie man zeigt, dass es sich um eine Gruppe handelt. Die Gruppen Axiome kenne ich, jedoch weiß ich noch nicht richtig wie ich sie anwende, um zu zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt. 
In der Musterlösung wurde folgendes angegeben, jedoch verstehe ich nicht wie man auf diese Umformung kommt ? 

Assoziativität: Woher erscheint aufeinmal das -1 bei c. und wieso wird in der zweiten zeile (b°c)-1 geschrieben ? und nicht (b-1°c). danach wird es wieder in die klammer genommen und ein neues -1 erscheint.. Kann mir einer erklären wieso man das genau macht und wie man darauf kommt ?

inverses Element: wieso gilt b= -a+2 ?? 

Answer 1

Woher erscheint auf einmal das -1 bei c?

Du hast oben die Definition der Verknüpfung ° : Z x Z --> Z definiert durch a°b = a + b - 1.

Die muss man immer anwenden, egal was man vor und nach den Verknüpfungszeichen hat.

 und wieso wird in der zweiten zeile (b°c)-1 geschrieben ? 

Gleiche Begründung: Das -1 kommt nur nach dem 2. Element der Verknüpfung, wenn ° zu + - umgeformt wird.

und nicht (b-1°c). 

danach wird es wieder in die klammer genommen und ein neues -1 erscheint.. 

Das Ziel ist, dass dann wieder das Verknüpfungszeichen an der richtigen Stelle ins Ergebnis kommt.

inverses Element: wieso gilt b= -a+2 ??

Das wird in der Zeile unter dieser Behauptung gezeigt. e=1 in der Mitte ist dort wichtig. 

Comments

Vielen dank ich versteh die Lösung jetzt schon viel besser! 
Aber beim Inversen Element: 

Wieso entscheiden wir uns gerade für b= -a+2 ? 
könnte ich nicht auch zb. a=-b+2 nehmen ?
oder einfach +2-a-b schreiben?

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Steht doch sogar.  Nochmal anders ausgedrückt: Sei a ein Element und b das inverse Element von a,  so gilt :

a verknüpft mit b bildet auf das neutrale Element ab.

Du machst also nichts anderes als die Verknüpfung zu nehmen ( a+b-1) und setzt diese gleich dem neutralen Element. Dann formst du nach b um.

Hier müssen natürlich beide Richtungen funktionieren.

Wenn also b das inverse von a ist,  so ist auch a das Inverse von b.

Answer 2

Die Gruppen Axiome kenne ich, jedoch weiß ich noch nicht richtig wie ich sie anwende, um zu zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt.

Mir scheint, Du hast da ein grundsaetzliches Verstaendnisproblem. Anwenden sollst Du die Gruppen-Axiome gar nicht. Vielmehr sollst Du zeigen, dass sie von der konkret gegebenen Struktur (ℤ, °) tatsaechlich erfuellt werden.

Dazu ist nachzurechnen, dass (a ° b) ° c = a ° (b ° c) wirklich immer gilt, das neutrale Element ist explizit vorzuzeigen und die Inversen ebenso.

Genau das wird in Deiner Musterloesung gemacht.