Bestimmen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit von n ∈ ℕ

Question

hey,

hab da mal eine aufgabe die ich nicht lösen kann:

(a) Sei A = (a_ij ) ∈ ℚ^4×4, aij = −1, falls i = j oder i = 4 und j = 1. Bestimmen Sie die Determinanten von tE4, A sowie tE₄ −A und verifizieren Sie det(tE₄ −A) ≠ det(tE)−det(A).

(b) Bestimmen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit von n ∈ ℕ mit einem Verfahren Ihrer Wahl und die von B mittels des Laplaceschen Entwicklungssatzes:

A = (a_ij ) ∈ℚ^n×n, a_ij = { 1 , falls i ≠ j                , B = (b_ij ) ∈ℤ₃ ^5×5, b_ij ={ 2(i + j ) , falls i ≠ j 0

                                {0 , sonst                                                         {0,             sonst

                                                      

falls unklarheiten auftreten: unten im Anhang befindet sich die Aufgabe (das blau makierte).

                             

 

Comments

Die Matrix \(A_n+E_n\) ist symmetrisch, hat den Rang 1 und den Eigenwert \(n\). Also hat \(A_n\) den \((n-1)\)-fachen Eigenwert \(-1\), sowie den Eigenwert \(n-1\), d.h. \(\det(A_n)=(-1)^{n-1}\cdot(n-1)\).

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Die Frage lautet:

Sei A=(a ij ) ∈ Q 4×4, aij = −1, falls i=j oder i=4 und j=1. Bestimmen Sie die Determinan-
ten von tE4,A sowie tE4 − A und verifizieren Sie det(tE4 − A)=det(tE) − det(A).

Ich schaffe nicht die Determinante von A zu finden. Ich habe schon Gauss-lgorithmus und Laplaceschem probiert.

Wie soll die Matrix aussehen?

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Ich habe schon Gauss-lgorithmus und Laplaceschem probiert.

Wie soll die Matrix aussehen?

Du weisst nicht mal, um welche Matrix es geht, aber Du hast schon "Gauss-lgorithmus und Laplaceschem probiert." Nicht schlecht.

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ich bin mir nicht sicher, ob die matrix richtig ist

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Wirst Du jedenfalls hier nie erfahren, wenn Du sie nicht angibst.

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Wie soll die Matrix aussehen? 

A=(a ij ) ∈ Q 4×4, aij = −1, falls i=j oder i=4 und j=1.

Würde ich folgendermassen interpretieren:

[-1 000

0 -100

00-10

-100-1 ]

Ich bin erstaunt, dass "oder" und "und" in " A=(a ij ) ∈ Q 4×4, aij = −1, falls i=j oder i=4 und j=1. " ausgeschrieben wurden.

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Ich dachte, an den anderen Stellen würden Variablen eingesetzt, so dass eine allgemeine Lösung gefunden werden soll.

zum Beispiel so:

[ -1 a b c

d -1 e f

g h -1 i

-1 j k -1]

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Aha. Das wäre natürlich auch noch möglich. Ist das oben denn die vollständige Fragestellung?

Wie liest/interpretierst du denn die blauen Anteile von im Rest der Fragestellung?

"Bestimmen Sie die Determinan- 
ten von tE4,A sowie tE4 − A und verifizieren Sie det(tE4 − A)=det(tE) − det(A). "

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Hallo

die Aufgabe ist:

Bestimmen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit von n ∈ N mit einem Verfahren Ihrer
 Wahl

A= (aij) E  Q ^{nxn}, aij = 1 falls i != j und sonst 0

Ich schaffe es nicht, eine allgemeine Lösung zu funden

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Geht es immer vielleicht um:

https://www.mathelounge.de/410537/bestimmen-sie-die-determinante-von-a-in-abhangigkeit-von-n-%E2%88%88  

? Dort steht det(tE₄ −A) ≠ det(tE)−det(A)

Bitte nicht mehrfach die gleichen Fragen einstellen.

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Ja, das ist die vollständige Fragestellung.

Ich verstehe deine Frage nicht

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Das soll nun das b) sein von https://www.mathelounge.de/410537/bestimmen-sie-die-determinante-von-a-in-abhangigkeit-von-n-%E2%88%88  ?

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@nn: Du meinst 10.3.b) , oder?

https://www.mathelounge.de/411832/determinante-von-a-%E2%88%88-q-4-4

Wie liest du a) ?

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Ja, aber es wurde nicht geantwortet

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Bitte bei vorhandenen Fragen nochmals nachfragen. Dort sind ja schon zwei übereinstimmende Antworten zu b) vorhanden. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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ok :) Entschüldigung!

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Kann man das lösen, ohne Eigenwert zu benutzen?

Answer 1

Hi,

wenn Du bei der Matrix \( A_n \) die zweite Spalte von der ersten abziehts und dann nach der ersten Spalte entwickelst, kommst Du auf eine Rekursionsgleichung für die Matrix \( A_n \). Das Ergebnis ist dann \( (-1)^{n-1}  \cdot (n-1) \)

Comments

aber das gilt nicht für n =1

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doch...Entschuldigung