Vollständige Induktion. Beweise Summe k=1 bis n: 1/k(k+1) = 1 - 1/n+1

Question

Bewiesen werden soll:

Summe k=1 bis n: 1/k(k+1) = 1 - 1/n+1

Bin beim Beweis so weit gekommen:

1 - 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) = 1 - 1/(n+2)

weiter kann ich leider die linke Seite nicht umformen. Wahrscheinlich übersehe ich etwas triviales...

Answer 1

Soweit ist alles richtig. Links auf den Hauptnenner bringen, Zusammenfasse und kürzen:

((n+1)(n+2)-(n+2)+1)/((n+1)(n+2))= (n²+3n+2-n-2+1)/((n+1)(n+2))= (n²+2n+1)/((n+1)(n+2))=(n+1)²/((n+1)·(n+2))=(n+1)/(n+2). Das erhältst du auch, wenn du die rechte Seite auf den Hauptnenner bringst und zusammenfasst.