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kann mir jemand helfen ?

Bild Mathematik

von

Vollständige Induktion: Zeige Summe(2^{k-j}(j-k)) = 2^j - (1+j) 

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen Bild Mathematik

ich muss zeigen ,dass es für alle j aus natürlichen zahlen und 0 gilt

Was ist "und"? Meinst du wirklich: 

" ich muss zeigen ,dass es für alle j aus natürlichen zahlen mit (?) 0 gilt " 

natürlichen zahlen und 0 ist das ℕ_(0) 

Ja , genau . Der Induktionsanfang für j = 0 und j = 1 ist klar ich habe aber Probleme mit Induktionsschritt

Beim Summenzeichen kann man doch j=0 und j=1 gar nicht einsetzen (?). 

0-1 wäre ja -1 über dem Summenzeichen. 

1-1 wäre 0 über dem Summenzeichen.

Dann hast du links gar keine Summe. 

Das passt eigentlich nicht zu einer Induktionsverankerung. 

  1. Eine formale Erweiterung des Summenzeichens ist die leere Summe: Eine Summe bei der der obere Summationsindex kleiner als der untere Summationsindex ist, heißt leere Summe. Die leere Summen wird als 0 definiert.

aber das ist nicht das Problem.

Ich habe Problem mit Induktionsschritt , da j auch in Summe auftaucht und ich weiß nicht wie es rechnen

Der Induktionsschritt ist doch im Link in meinem Kommentar  schon vorgerechnet (?) 

Danke . Nur habe eine Frage : wo ist 2j-1 nach der InduktionsVoraussetzung ?

BIn zurechtgekommen . Vielen Dank

1 Antwort

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j=1      20 ( 1-1) =  21 - ( 1+1 )

             1*0  =  2 - 2     passt !

wenn es für j stimmt, dann gilt  (jetzt kommt der Ind.schritt)

Summe k=1 bis j  über   2 k-1* ( j+1 - k )

=   Summe k=1 bis j-1  über   2 k-1* ( j+1 - k )         +   2j-1 * ( j+1 - j ) 

  =    Summe k=1 bis j-1  über   2 k-1* ( j - k )   +   2 k-1      +   2j-1 *1

= Summe k=1 bis j-1  über   2 k-1* ( j - k )   +  Summe k=1 bis j-1  über   2 k-1       +   2j-1 

Ind.vor.

=   2 - ( j+1)        +  Summe k=1 bis j  über   2 k-1    

Formel für geom. Reihe

=   2 - ( j+1)    +    2j  -  1

=  2* 2 - ( j+1)    - 1  

=   2 j+1 - ( j+2)       q.e.d.

von 153 k

Ich verstehe "  =    Summe k=1 bis j-1  über   2 k-1* ( j - k )   +   2 k-1      +   2j-1 *1 

" nicht, wie sie es aufgespalten habe. Das ist die zweite Zeile.Können Sie mir es bitte erklären ?

In der Summe in der Zeile vorher waren die Summanden ja

2 k-1* ( j+1 - k )     bzw 


2 k-1* ( j - k   +    )   Da löse ich die Klammer auf

= 2 k-1   * ( j - k )  +    2 k-1   *    1   )   
und dann zwei Summen draus machen

wo ist 2^{j-1} nach der InduktionsVoraussetzung ?

alleniv: Meinst du diesen Übergang:

= Summe k=1 bis j-1  über   2 k-1* ( j - k )   +  Summe k=1 bis j-1  über   2 k-1       +   2j-1  

Ind.vor. 

=   2 - ( j+1)        +  Summe k=1 bisüber   2 k-1     

oder was genau? 

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