Zeigen sie , f x g ist k-linear.

Question

muss man bei der aufgabe die Axiome von Linearen Abbildungen beweisen und wenn ja wie geht dass ? hoffe mir kann jemand helfen diese aufgabe zu lösen

Answer 1

a) Genau, du musst die Axiome prüfen, also zeigen das

für alle .....           gilt

1.    f x g ( (v,w)+(x,y) ) =   f x g ( (v,w)   +   f x g (x,y) )

und

2.    f x g ( k*(v,w) )  =  k *    f x g ( (v,w) für das erste musst du mal schauen, wie die Addition auf  VxW  bzw. V' x W'

definiert ist, wohl so   (v,w)+(x,y)  = ( v+x , w+y ) . Dann ist es nicht so wild:

  f x g ( (v,w)+(x,y) ) =    f x g ( (v+x,w+y) )   nach Def. von fxg also

= ( f(v+x) , g(w+y) )   und weil f und g linear sind

=  ( f(v)+f(x) , g(w)+g(y) )   und jetzt wieder die Def . von    (v,w)+(x,y)  anwenden

=( f(v) , g(w) )   +  ( f(x) , g(y) )   und wieder Def. von f x g gibt

= f x g ( v,w)  +  f x g ( x,y)   also 1. bewiesen.

Ähnlich geht 2.

Und bei Teil b) musst du eben zusätzlich die Verkettung anwenden.

Probier mal und mach einen Vorschlag zur ggf. Korrektur.