vollständige induktion: für alle n element N ist die summe der ersten ungeraden zahlen gleich n^2

Question

es geht um die Aufgabe ii) und iii):Ich weiß nicht so richtig wie ich das angehen soll. Ein paar Ansätze und Tipps wären ganz nett :)

Danke

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iii) kannst du vielleicht erst mal experimentell angehen und dann verallgemeinern.

11^1 = 11 und 1-1 = 0 sind beide durch 11 teilbar

22, 33, 44, ... 99 analog

110 und 1-1+1 = 0 sind beide durch 11 teilbar

121 und 1 - 2 + 1 = 0 sind beide durch 11 teilbar

usw.

Verallgemeinerung z.B. mit vollst. Induktion. Allenfalls "==>" und "<==" separat zeigen. 

ii) vgl. hier https://www.mathelounge.de/159724/ersten-ungeraden-zahlen-beweisen-vollstandige-induktion 

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ok. Danke erstmal Lu.. iii kriege ich dann hin.

Bei i bin ich gerade beim Induktionsschritt, wo ich  momentan nicht weiterkomme.

Kannst du mir vielleicht nochmal helfen, wie ich jetzt hier die Induktionsvoraussetzung einbringen kann?

Answer 1

Vorschlag im Groben:

$$ \sum_{k=1}^n \quad 2k -1= n^2$$
---...Induktionsbeginn etc...---
$$ \sum_{k=1}^{n+1} \quad 2k -1= (n+1)^2$$

$$ \sum_{k=1}^n \quad 2k -1\quad + \quad 2(n+1)-1= n^2+2n+1$$
$$ \sum_{k=1}^n \quad 2k -1\quad + \quad 2n+2-1= n^2+2n+1$$
$$ \sum_{k=1}^n \quad 2k -1\quad + \quad 2n+1= n^2+2n+1$$

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Ok Danke.

Hast du bei der iii auch noch einen Ansatz?