Stetige und injektive Funktion auf Intervall [a,b] ... Zeigen Sie: Für alle x ∈]a,b[ gilt f(a) < f(x) < f(b)

Question

Sei f : [ a, b ] → IR eine stetige und injektive Funktion mit f (a) < f (b) . 

Zeigen Sie: 

Für alle x ∈]a,b[ gilt f(a) < f(x) < f(b)

EDIT: Fragestellung angepasst Abbildung im Kommentar. 

Comments

Was hat der Betreff mit der Aufgabe zu tun? Wenn der Betreff Deine Kurzform der Aufgabe sein soll, dann weisst Du, was Dein Problem ist.

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man soll zeigen, dass das gilt.

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Schau Dir mal die Zusatzaufgabe  am Ende der Musterlösung an.

https://www2.informatik.hu-berlin.de/~prang/page7/page1/files/Muster9.pdf

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EDIT: Habe beim obigen Kommentar ein das zu dass gemacht. Was aber noch immer nicht zweifelsfrei erkennen lässt, was die Aufgabe ist. 

Gemeint ist vielleicht: Man soll zeigen, dass f auf dem ganzen Intervall [a,b] stetig, invertierbar / monoton / injektiv ? ist.

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sorry hier ist das Foto mit der Aufgabe

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Aha. Da kann dir fakename dann bestimmt weiterhelfen, wenn sich die Frage mit dem Link von ullim noch nicht erledigt hat. (?)

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kann man das theorethisch dann auch mit x < y < z wie auf der Internetseite machen oder muss das mit f(a) < f(x) < f(b) machen wie oben in der aufgabe. Also ist die Aufgabe gleich? Weil den Lösungsweg von dem Link kann ich nachvollziehen

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es hat sich noch nicht erledigt. Ich meine ich verstehe den Link und auch den Lösungsweg aber ich kann das irgendwie nicht auf die Frage hier beziehen. Würde es denn genügen das so zu beantworten wie in dem Link?

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Aus dem Link folgt, dass die Funktion streng monoton ist. Da \( f(a) < f(b) \) ist, ist sie streng monoton wachsend. Und deswegen gilt \( f(a) < f(x) < f(b) \) für \( x \in (a,b) \)

Ein anderer Weg ist anzunehmen, dass es ein \( x \in (a,b) \) gibt, mit z.B. \( f(x) < f(a) \). Dann gilt weiter, \(  f(x) < f(a) < f(b)  \) . D.h. es ex. im Intervall \( (x,b) \) ein \( \xi \) mit \( f(\xi) = f(a) \) nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen. Dies würde aber der Injektivität widersprechen. Genauso geht es, wenn man annimmt, dass es ein \( x \) gibt, mit \( f(x) > f(b) \)

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Würde das so reichen für die Beantwortung von 1) und 2)

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Die Aufgabenstellung ist im Anhang und mein Lösungsweg im Kommentar

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hier ist mein Lösungsansatz würde das so reichen für 1) und 2)?

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ja wenn schon eine weiterleitung dann wenigstens da die frage beantworten was scheinbar nicht gemacht wird.. ich hab eine frage gestellt zu der glaube ich nicht geantwortet wurde

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Du hast zweimal die gleiche Frage gestellt.

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Hi,

Erste Strichaufzählung

Du schreibst für alle \( x , y \in I \) danach wird aber nicht mehr auf \( x \) und \( y \) Bezug genommen. Richtig ist das hier https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion

Der Beweis der strengen Monotonie kannst Du aus dem Link abschreiben, den ich geposted habe und den anderen Beweis habe ich Dir auch aufgeschrieben.

Du nimmst auf den schon erwähnten ZWS Bezug. Der wurde aber nicht erwähnt.

Das \( f(a) < f(b) \) sein soll ist irrelevant. Schau Dir meinen Post an. Wichtig ist \( f(x) < f(a) \) oder \( f(x) > f(b) \) und das zum Widerspruch zuführen.

Die restlichen Schritte erscheinen mir auch nicht logisch.