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Seien f,g (stetig) : IR → IR und f(x) = g(x) für alle x Elemente IQ

Zeige: f(x) = g(x) für alle x Elemente IR

Analog: f(x) = g(x) für alle x mit 0 < (x-a) < δ ⇒ f(a) = g(a)

Kann mir jemand helfen zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen gleich sind? Bin über jeden Ansatz dankbar!

von
Kammen irgendwelche Sätze zur eindeutigen Fortsetzbarkeit kürzlich in der Vorlesung vor?

 

Also es gibt sogar eine lösung davon nur versteh ich  die lösung nicht ganz , außerdem sollen wir dazu nicht die lösungen benutzen, also es selber erklären können :)

Vom Duplikat:

Titel: Stetige Funktionen von R nach R. Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) fur jedes r ∈ Q. Dann ist f = g.

Stichworte: funktion,stetig,rational,reell

Hallo zusammen. kann jemand mir helfen ?

Seien f, g : R → R stetige Funktionen.

Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) für jedes  r ∈ Q. Dann ist f = g.


Danke im voraus.

2 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Sei x∈ℝ\ℚ. Bekanntlich existiert eine Folge {an}n>0 mit  ak∈ℚ  für alle  k∈ℕ  und  limn→∞an = x.
Da  f  und  g  stetig sind, gilt
f(x) = f(limn→∞an) = limn→∞f(an) = limn→∞g(an) = g(limn→an) = g(x).
Also ist  f(x) = g(x)  für alle x∈ℝ.

von
+3 Daumen

Für jedes x∈ℝ gibt es eine Folge (xn)n∈ℕ , mit xn ∈ℚ, die gegen x konvergiert,

weil die Menge Q dicht in ℝ ist.

Für alle Folgenglieder gilt aber  f(xn) = g(xn) , wegen der Stetigkeit (Folgenkriterium)

 gilt also auch  f(x) = g(x).

von 152 k

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