LinA I Schnittmenge von Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U₁, U₂ Untervektorräume von V. Zeigen Sie V = U₁ ∪ U₂ ⇔ V = U₁ oder V = U₂.

Beweis:

Zu zeigen ist die Aussage "∀x: x ∈ V = U₁ ∪ U₂ ⇔ x ∈ V = U₁ oder x ∈ V = U₂".

"⇒":

Zunächst zeigen wir , dass "∀x: x ∈ V = U₁ ∪ U₂ ⇒ x ∈ V = U₁ oder x ∈ V = U₂".

Angenommen es existiert ein x ∈ V = U₁ ∪ U₂ mit x ∈ V ≠ U₁ und x ∈ V ≠ U₂. Dann folgt U₁ ⊂ V und U₂ ⊂ V. // Ich glaube Hier stimmt schon die Negation nicht, die Rückrichtung müsste aber richtig sein

"⇐":

Wir zeigen, dass "∀x: x ∈ V = U₁ oder x ∈ V = U₂ ⇒ x ∈ V = U₁ ∪ U₂".

Sei, o. B. d. A, V = U₁, sonst gelte V = U₂ bzw. V = U₁ = U₂. Dann ist U₂ ⊆ U₁, da U₂ ein Untervektorraum von V = U₁. Sei x ∈ V beliebig. Wenn x ∈ U₂, dann x ∈ U₁. Somit gilt für alle x ∈ U₁ ∪ U₂ = {x | x ∈ U₁ oder x ∈ U₂} = U₁ = V.