Wie teste ich, ob ein Element ein Erzeuger der zyklischen Gruppe (Z/31Z^*, *) ist?

Question

Ich hätte für heute nur noch eine Frage. Und zwar suche ich eine Möglichkeit, wie man beweisen kann, ob 3 ein Erzeuger der oben genannten Gruppe ist.

Answer 1

Guten Morgen Mathemagiker,

ob ein Element Erzeuger einer Gruppe G ist, kann man ziemlich leicht nachrechnen. Ein Element g ist genau dann ein Erzeuger, wenn $$g^n=1 \text{ mit } |G|=n$$ Sind nun alle $$g^{\frac{n}{p}}\neq 1 \mod 31\text{, wobei p die Primteiler von }n\text{ sind}$$ dann ist g ein Erzeuger. In Deinem Beispiel gilt $$|G|=31-1=30$$ da 31 eine Primzahl ist und die prime Einheitengruppe gegeben ist. Es ist wieterhin $$30=6\cdot 5=2\cdot 3\cdot 5$$ Wir prüfen also: $$3^{\frac{30}{2}}=3^{15}\equiv 30 \mod 31 \neq 1$$ $$3^{\frac{30}{3}}=3^{10}\equiv 25 \mod 31 \neq 1$$ $$3^{\frac{30}{5}}=3^{6}\equiv 16\mod 31 \neq 1$$ Daraus folgt: $$g=3\text{ ist ein Erzeuger der zyklischen Gruppe!}$$ Ich hoffe, dass ich Dir damit weiterhelfen konnte.

Beste Grüße

André, savest8

Comments

Danke, dass hat mir sehr weitergeholfen:-)