0 Daumen
330 Aufrufe

Hallooo,

Ich soll folgendes beweisen: Sei G=<a> eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Gegeben sei ak,1≤k<n. Zeigen Sie: <ak>=G ⇔ ggT(k,n)=1.

Mein Ansatz:

„⇐“: Da der ggT(k,n)=1 ist, gibt es Zahlen x,y∈ℤ mit xk+yn=1. Damit gilt a=a1=axk+yn=(ak)x(an)y=(ak)x da (an)=1 ist. ⇒ Für ein x gilt (ak)x=a. ⇒ Sei g∈G ein willkürlich gewähltes Element, dann gibt es eine Zahl i, so dass g=ai und wir haben dann g=ai=(ak)xi ⇒ <a>=<ak> ⇒ <ak>=G 

Aber wie beweise ich das ganze jetzt in die andere Richtung „⇒“. Also wenn ich von der Annahme ausgehe, dass <ak>=G und zu ggT(k,n)=1 gelangen soll? Da ja durch <ak>=G gilt <ak>=<a>, ist a eine Potenz von ak. Wir erhalten also a=(ak)i=aki.

Aber wie komme ich jetzt von da, nach xk+yn=1 bzw. ggT(k,n)=1 ?

Vielen Dank für eure Hilfe!

von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aber wie komme ich jetzt von da, nach xk+yn=1 bzw. ggT(k,n)=1 ?

Vielleicht so:   Das x hast du ja schon mit  a^(x*k)=a

und ich meine mal gelernt zu haben:

Bei zyklischen Gruppen der Ordnung n ist für jedes

Element  a immer  a^n = e  (neutrales Element von G).

, also wäre das hier auch   a^n = e

Und mit dem  a^(x*k)=a hast du dann

a = a*e = a^(x*k) * a^n  = a^(x*k+n )

also x*k+n = x*k+1*n = 1 .

Mit y=1 hast du dann die gesuchte Gleichung.

von 198 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community