Die menge t einer Determinanten berechnen

Question

ich habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten, ich soll von der folgenden Determinanten die menge der t e IR berechnen, leider wurde die Aufgabenstellung ungeschickt formuliert, dort steht noch irgendwas mit "folgende Determinante den Wert Null annimmt:" Ich weiß überhaupt nicht, was ich hier machen soll...
2-t  1  -1 X 1  1-t  0 X -1  0  1-t X Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen :)
Ab jedem X fängt eine neue Zeile an

Answer 1

MrKatroffel,

wenn ich Deine Aufgabenbeschreibung richtig verstanden habe, dann ist folgende Matrix gegeben $$\left(\begin{matrix}2-t & 1 & -1\\ 1 &1-t& 0 \\-1 & 0 & 1-t\end{matrix}\right)$$ von der wir annehmen, dass ihre Determinante den Wert 0 besitzen (und somit nicht invertierbar sein) soll. Du sollst nun alle $$t\in\mathbb{R}$$ bestimmen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Als erstes bilden wir dafür die Determinante der Matrix (hier mit der Regel von Sarrus; Alternativen hast Du vermutlich in der Vorlesung kennengelernt). 

Nun soll $$\det(A) = 0$$ gelten, d.h. es ist die Gleichung $$-t^3+4t^2-3t = 0$$ zu lösen. Eine Lösung ist dabei ganz offensichtlich $$t=0$$ (wenn Dir das nicht klar ist, dann frage gerne noch einmal nach). Nun dividieren wir beide Seiten durch $$t\neq 0$$ und erhalten $$-t^2+4t-3= 0$$ Um z.B. die p-q-Formel anwenden zu können, dividieren wir beide Seiten durch -1 und erhalten als Ergebnis $$t^2-4t+3$$ Diese quadratische Gleichung löst Du dann mit der p-q-Formel. Die Ergebnisse lauten: $$t_1 = 3 \text{ und } t_2 = 1$$ Daraus folgt: Wenn die Determinante der gegebenen Matrix 0 sein soll, dann ist $$t\in\{0,1,3\}$$ Konnte ich Dir damit weiterhelfen? Bei Rückfragen kannst Du Dich gerne wieder melden.

André, savest8

Comments

Hi :)

erstmal vielen Dank für deine Ausführliche Erklärung :) Ich kann alles nachvollziehen, nur bei dem Punkt an dem man durch t ungleich 0 teilt habe ich noch Schwierigkeiten, was genau muss man da machen? Ansonsten Super Erklärung! :)

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Gerne doch:-) Also, das $$t\neq0$$ brauchst Du im Prinzip nicht hinschreiben. Ich wollte bei der Division nur nicht durch 0 teilen, deshalb habe ich den Fall $$t=0$$ explizit ausgeschlossen. Es reicht auch zu schreiben "Division beider Seiten der Gleichung durch t". Meine Formulierung war bloße Spitzfindigkeit. Du teilst durch t, weil dieser Faktor in jedem Summanden auftaucht (Gleichungsumformung).
Es freut mich sehr, dass Du es verstanden hast. Sehr gut!
Beste Grüße und weiterhin viel Erfolg im Studium!