Lagrange Nutzenmaximierung

Question

 

Das ist zwar eigentlich eine VWL-Aufgabe, ich stehe allerdings vor einem Mathematischen Problem.

In der Aufgabe soll der Nutzen maximiert werden und es ergibt sich aus der Aufgabe folgende Lagrangefunktion: 

$$ L=3x1+5x2\quad +\quad \lambda (1000-\frac { 3 }{ 2 } x1-2x2) $$ 

Die partiellen Ableitungen/BEOs lauten also: 

Lx1:  $$3-\frac { 3 }{ 2 } \lambda =0$$ 

Lx2: $$5-2\lambda =0$$ 

Lλ: $$1000-\frac { 3 }{ 2 } x1-2x2=0\quad$$ 

Jetzt habe ich also das Problem, dass ich ja mit beiden Ableitungen nur nach Lambda auflösen kann und keine der Variablen mehr vorhanden ist. Irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch wie ich von hier aus meine optimalen x1 und x2 bekomme? 

 

Answer 1

Wenn die Aufgabe so stimmt, liegt \( x_2 \) auf einer Geraden der Form

$$ x_2(x_1) = -\frac{3}{4} x_1 + 500  $$ Das kommt aus der Nebendingung. Und damit wir \( L(x_1,x_2) \) maximal, wenn \( x_1 = 0 \) gilt, vorausgesetzt \( x_1 \ge 0 \) soll gelten. Und damit ergibt sich \( x_2 = 500\)

Comments

Bei den Gleichungen hast Du aber noch ein Problem mit \( \lambda \).  Denn die ersten beiden Gleichungen ergeben unterschiedliche Lösungen.

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