Beweis Aufgabe über die JNF

Question

Sei \(A \in \mathbb{C}^{2 \times 2}\) zeigen Sie: Es gibt genau dann eine Matrix \( B \in \mathbb{C}^{2 \times 2}\) mit \(A = B^2\) wenn entweder \( A = 0\) oder \(A^2 \neq 0\) gilt.

Problem/Ansatz: In der mir gegebenen Musterlösung wird die JNF erwähnt, warum ?
Auf dieses Antwort hatte mir Chat als KI gegeben, dass die JNF die Analyse von Matrizen allgemein vereinfacht.

Im ersten Satz der Musterlösung wird geschrieben:

Falls \(A=B^2 \Longrightarrow S^{-1}A S= (S^{-1} B S)^2\) Insbesondere. JNF(A) hätte auch eine Wurzel.

Dann werden für JNF(A) zwei Matrizen geschrieben:

\(\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}\) oder \( \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \)

Ich verstehe ab hier schon nicht, warum insbesondere die JNF genommen wird zum Beweis.

Ein Satz aus meinen Skript, den ich für die Aufgabe geeignet halte lautet wie folgt.:

Selbst wenn ich hier eine Art herangehensweise vorliegen habe, ist meiner Meinung nach nicht dieselbe Struktur gegeben, es existiert eine weitere Matrix B mit der Bedingung A= B^2

Desweiteren, merke ich grade beim tippen, dass es sich ja vielmehr um eine Rechenanleitung handelt.

Naja, ich lasse es trotzdem online.

Comments

In der mir gegebenen Musterlösung wird die JNF erwähnt, warum ?

Die Antwort darauf ist "warum nicht?". Die Idee scheint ja doch zum Ziel zu führen. Es gibt natürlich oft mehrere Beweismöglichkeiten - wenn Du eine eigene hast, dann leg sie hier gerne zur Kontrolle vor.

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Vielleicht kann man etwa folgendermaßen mit der JNF \(A=SJS^{-1}\) argumentieren:

Falls \(J=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\mu\end{pmatrix}\) ist, wähle \(x,y\in\mathbb C\) mit \(x^2=\lambda\), \(y^2=\mu\) und \(H=\begin{pmatrix}x&0\\0&y\end{pmatrix}\).

Falls \(J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\) ist, wähle \(x\in\mathbb C\) mit \(x^2=\lambda\) und \(H=\begin{pmatrix}x&\frac1{2x}\\0&x\end{pmatrix}\).

Mit \(B=SHS^{-1}\) sollte dann \(B^2={(SHS^{-1})}^2=SH^2S^{-1}=SJS^{-1}=A\) gelten.

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@nudger

Naja ich verstehe die JNF erstmals als eine Matrix Form an, die man aus einer (auch jeder ?) Matrix bestimmen kann.

Was bringt mir die Struktur der JNF Form um den Beweis zu führen. Ich habe Mathe nur als Nebenfach und bereue meine Wahl schon damals nach dem ersten Semester, nun muss ich nur noch 1 Klausur bestehen und 1 Zulassung erhalten.

Das kriege ich wohl hin ohne alles zu 100% zu verstehen.

Demnach versuche ich halt auch durch die Musterlösungen mich zu arbeiten.

Es gibt ja einen Grund für die Wahl der JNF.

Die KI gab als Antwort darauf, dass die JNF die Möglichkeit gibt die eigentliche Matrix einfacher zu Analysieren.

Ergo denke ich mal, dass man über die EW Aussagen treffen kann, wie deren alg. Vielfachheit oder geometrische Vielfachheit halt.

Wenn ich aber als Bedingung habe, dass die Matrix A=B^2 gilt also es existiert eine Matrix A und eine Matrix B.

Dann gilt aus der Glechung, dass A=0 ist oder A^2 ungleich 0.

Ich sehe nicht ganz den Zusammenhang zwischen der JNF und dem, dass zb A=0 sein soll.

Bzw. Wenn A=0 dann gilt A=B^2, so rum und nicht anders herum.

Ich kann mir schlecht erklären wie überhaupt ich zeigen soll, dass A=B^2 ist.

@Arsinoé auf deinen Kommentar werde ich versuchen ebenfalls einzugehen und mir zu überlegen was du mit deinem Kommentar Aussagen möchtest.