Totalität bei Ordnungsrelationen

Question

Handelt es sich bei dieser Relation

O2 :={((a1,a2),(b1,b2))∈( × )×( × ): a1 ≥ b1 und a2 ≥ b2} 

um eine Ordnungsrelation? Ist sie total?

Ordnungsrelationen habe ich geprüft. So weit habe ich das auch verstanden. Auch die Eigenschaft zur Totalität habe ich verstanden, nur in diesem Fall weiß ich das leider nicht. Für Totalität gilt ja folgendes.  (Linearität)

Entweder ist also a1 >= b1 und a2 >= b2 ∨ b1 >= a1 und b2 >= a2.

In der Lösung steht allerdings folgendes:  "Die Relation ist nicht total: Es gilt ((1,2),(2,1)) ∉ O2."

Somit ist es ja richtig, dass (1,2)(2,1) nicht in der Menge drin sein darf. Warum müsste ((1,2)(2,1)) trotzdem in der Menge sein?

Answer 1

total heißt doch in deinem Fall:

Für zwei Paare (a;b) und (c;d) gilt immer

(a,b) ≤ (c;d) oder  (c;d) ≤ (a;b) .

für die beiden Paare aus der Musterlösung

(und es gibt noch viele andere)

gilt aber keins von beiden.